$\frac{\omega^{13}-\omega^5+1}{\omega+1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\omega^{13}-\omega^5+1}{\omega+1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は 1 の虚数立方根であると考えられるので、$\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

$\omega^{13} = \omega^{3 \times 4 + 1} = (\omega^3)^4 \times \omega = 1^4 \times \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^{3 \times 1 + 2} = (\omega^3)^1 \times \omega^2 = 1^1 \times \omega^2 = \omega^2$

したがって、

$\omega^{13} - \omega^5 + 1 = \omega - \omega^2 + 1$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega + 1 = -\omega^2$ , $\omega^2 + 1 = -\omega$ , $\omega - \omega^2 + 1 = \omega + 1 - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2$

よって、

$\frac{\omega^{13} - \omega^5 + 1}{\omega + 1} = \frac{-2\omega^2}{-\omega^2} = 2$

3. 最終的な答え

2