$a, b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、$a, b$ の値と他の解を全て求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、$a, b$ の値と他の解を全て求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式の係数が実数であることから、$1+3i$ が解ならば、共役複素数である $1-3i$ も解である。

したがって、解の1つを $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$(1+3i)+(1-3i)+\alpha = -a$

$(1+3i)(1-3i)+(1+3i)\alpha+(1-3i)\alpha = b$

$(1+3i)(1-3i)\alpha = -10$

となる。

まず、3つ目の式から$\alpha$を求める。

$(1+3i)(1-3i)=1-9i^2=1+9=10$

$10\alpha = -10$

$\alpha = -1$

したがって、残りの解は $-1$ である。

次に、$a$ を求める。

$2 + (-1) = -a$

$1 = -a$

$a = -1$

最後に、$b$ を求める。

$(1+3i)(1-3i)+(1+3i)(-1)+(1-3i)(-1)=b$

$10 -1 -3i -1 +3i = b$

$8 = b$

よって、$a=-1$, $b=8$, 他の解は $1-3i$ と $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 8$

他の解は $1-3i$ と $-1$