与えられた積分 $\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を分配法則を使って2つの積分に分解します。

$\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx = \int \frac{\sin x}{\tan x} dx + \int 2\sin x dx$

次に、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、最初の積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{\tan x} dx = \int \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \cos x dx$

ここで、2つの積分をそれぞれ計算します。

$\int \cos x dx = \sin x + C_1$

$\int 2\sin x dx = -2\cos x + C_2$

最後に、2つの積分結果を足し合わせます。

$\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx = \sin x - 2\cos x + C$

ただし、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\sin x - 2\cos x + C$