数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_n = 0$ および初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 2$ で定められている。 (1) 数列 $\{a_{n+1} - \alpha a_n\}$ が等比数列となるような定数 $\alpha$ の値を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_n = 0$ および初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 2$ で定められている。

(1) 数列 $\{a_{n+1} - \alpha a_n\}$ が等比数列となるような定数 $\alpha$ の値を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式を変形し、$\{a_{n+1} - \alpha a_n\}$が等比数列となるように定数 $\alpha$ を定める。

与えられた漸化式 $a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_n = 0$ を変形する。

$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ となるように $\alpha, \beta$ を定める。

展開すると $a_{n+2} = (\alpha + \beta) a_{n+1} - \alpha \beta a_n$ となる。

係数を比較すると、$\alpha + \beta = -4$ , $-\alpha \beta = 4$ を得る。

$\alpha \beta = -4$ より $\beta = -\frac{4}{\alpha}$.

$\alpha - \frac{4}{\alpha} = -4$ となるので、$\alpha^2 + 4\alpha - 4 = 0$。

$\alpha = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

$\alpha = -2 + 2\sqrt{2}$ のとき、$\beta = -2 - 2\sqrt{2}$

$\alpha = -2 - 2\sqrt{2}$ のとき、$\beta = -2 + 2\sqrt{2}$

よって、$a_{n+2} - (-2+2\sqrt{2}) a_{n+1} = (-2-2\sqrt{2}) (a_{n+1} - (-2+2\sqrt{2}) a_n)$

$a_{n+2} - (-2-2\sqrt{2}) a_{n+1} = (-2+2\sqrt{2}) (a_{n+1} - (-2-2\sqrt{2}) a_n)$

$a_{n+1}-\alpha a_n$が等比数列になるような$\alpha$の値を求めるので、

$\alpha$ は $x^2 + 4x + 4 = 0$の解である。$(x+2)^2=0$

$\alpha = -2$ (重解)

したがって、$a_{n+2} + 2 a_{n+1} = -2 (a_{n+1} + 2 a_n)$

これは、$a_{n+1}+2a_n$が等比数列であることを示す。

これは、$a_{n+1} - \alpha a_n$ が等比数列になるのは $\alpha = -2$ のときである。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_n = 0$

特性方程式は $x^2 + 4x + 4 = 0$ であり、$(x+2)^2 = 0$ より $x = -2$ (重解)

したがって、$a_n = (An + B) (-2)^{n-1}$ とおける。

$a_1 = (A + B) (-2)^0 = A + B = 1$

$a_2 = (2A + B) (-2)^1 = -4A - 2B = 2$

$-2A - B = 1$

$A + B = 1$ より、$-A = 2$。よって、$A = -2$.

$B = 1 - A = 1 - (-2) = 3$.

よって、$a_n = (-2n + 3) (-2)^{n-1} = (3-2n) (-2)^{n-1}$.

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = -2$

(2) $a_n = (3-2n)(-2)^{n-1}$