$m$ を定数とするとき、2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 1 = 0$ の解の種類を判別せよ。

1. 問題の内容

$m$ を定数とするとき、2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 1 = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、解の種類は以下のようになる。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

* $D = 0$ のとき、重解（ただ1つの実数解）をもつ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

与えられた2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 1 = 0$ に対して、判別式 $D$ を計算する。

$a = 1$, $b = m+1$, $c = 1$ なので、

\begin{align*}

D &= (m+1)^2 - 4(1)(1) \\

&= m^2 + 2m + 1 - 4 \\

&= m^2 + 2m - 3 \\

&= (m+3)(m-1)

\end{align*}

$D$ の符号によって、解の種類を場合分けする。

(i) $D > 0$ のとき

$(m+3)(m-1) > 0$ より、$m < -3$ または $m > 1$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

(ii) $D = 0$ のとき

$(m+3)(m-1) = 0$ より、$m = -3$ または $m = 1$ のとき、重解をもつ。

(iii) $D < 0$ のとき

$(m+3)(m-1) < 0$ より、$-3 < m < 1$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

3. 最終的な答え

* $m < -3$ または $m > 1$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

* $m = -3$ または $m = 1$ のとき、重解をもつ。

* $-3 < m < 1$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。