(1) $4x^2 \geq -3y(4x+3y)$が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。 (2) $\frac{4+i}{1+2i}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $4x^2 \geq -3y(4x+3y)$が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。

(2) $\frac{4+i}{1+2i}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

左辺から右辺を引いたものを計算する。

$4x^2 - (-3y(4x+3y)) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x+3y)^2$

$(2x+3y)^2 \geq 0$より、$4x^2 \geq -3y(4x+3y)$が成り立つ。

等号成立は$2x+3y=0$のとき。

(2)

$\frac{4+i}{1+2i}$を計算するため、分母の共役複素数を分子と分母にかける。

$\frac{4+i}{1+2i} = \frac{(4+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{4 - 8i + i - 2i^2}{1 - 4i^2} = \frac{4 - 7i + 2}{1 + 4} = \frac{6-7i}{5} = \frac{6}{5} - \frac{7}{5}i$

3. 最終的な答え

(1)

(左辺)-(右辺) = $(2x+3y)^2 \geq 0$

等号成立は $2x+3y=0$ のとき。

(2)

$\frac{6}{5} - \frac{7}{5}i$