問題は、$\lambda^5 = 1$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、$\lambda^5 = 1$ を解くことです。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $\lambda^5 = 1$ を考えます。これは、複素数の範囲で5つの解を持ちます。

$\lambda = re^{i\theta}$ とすると、方程式は次のようになります。

$(re^{i\theta})^5 = 1$

$r^5e^{i5\theta} = 1$

したがって、$r^5 = 1$ かつ $e^{i5\theta} = 1$ である必要があります。

$r$ は実数であるため、$r=1$ です。

次に、$e^{i5\theta} = 1$ を満たす $\theta$ を見つけます。

$e^{i5\theta} = \cos(5\theta) + i\sin(5\theta) = 1$ より、

$\cos(5\theta) = 1$ かつ $\sin(5\theta) = 0$ となります。

$5\theta = 2\pi k$ （$k$ は整数）

$\theta = \frac{2\pi k}{5}$

$k = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して異なる解が得られます。

$\lambda_k = e^{i\frac{2\pi k}{5}}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4)

$\lambda_0 = e^{i0} = 1$

$\lambda_1 = e^{i\frac{2\pi}{5}}$

$\lambda_2 = e^{i\frac{4\pi}{5}}$

$\lambda_3 = e^{i\frac{6\pi}{5}}$

$\lambda_4 = e^{i\frac{8\pi}{5}}$

3. 最終的な答え

$\lambda = 1, e^{i\frac{2\pi}{5}}, e^{i\frac{4\pi}{5}}, e^{i\frac{6\pi}{5}}, e^{i\frac{8\pi}{5}}$

または

$\lambda = e^{i\frac{2\pi k}{5}}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4)