問題13：ある放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。 問題14：$x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ ($m$ は実数の定数) の最小値を $k$ とする。このとき、$k$ の最大値を求めよ。 問題15：実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題13、14、15を解きます。

1. 問題の内容

問題13：ある放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

問題14：$x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ ($m$ は実数の定数) の最小値を $k$ とする。このとき、$k$ の最大値を求めよ。

問題15：実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

**問題13**

1. $x$ 軸に関して対称移動する前の放物線の方程式を求める。これは、与えられた放物線の $y$ 座標の符号を反転させることで得られる。

$y = -2x^2 - 3x + 4$ を $x$ 軸に関して対称移動すると、

$-y = -2x^2 - 3x + 4$

$y = 2x^2 + 3x - 4$

2. 平行移動する前の放物線の方程式を求める。

平行移動により、$y$ 軸方向に $-3$ だけ移動しているため、$y$ を $y+3$ に置き換える。また、$x$軸方向に $2$ だけ移動しているため、$x$ を $x-2$ に置き換える。

$y + 3 = 2(x-2)^2 + 3(x-2) - 4$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 3x - 6 - 4 - 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 3x - 13$

$y = 2x^2 - 5x - 5$

**問題14**

1. 与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - mx + m$

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{m}{2})^2 + m$

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

2. 最小値 $k$ を求める。

$k = -\frac{m^2}{4} + m$

3. $k$ の最大値を求める。$k$ は $m$ の2次関数なので、平方完成して最大値を求める。

$k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m)$

$k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4 - 4)$

$k = -\frac{1}{4}(m - 2)^2 + 1$

$k$ は $m = 2$ のとき最大値 $1$ をとる。

**問題15**

1. $x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$

2. $4x + 2y^2$ に代入して、$x$ の関数にする。

$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$

3. $-2 \le x \le 2$ の範囲で $-2x^2 + 4x + 8$ の最大値と最小値を求める。

$f(x) = -2x^2 + 4x + 8 = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2(x - 1)^2 + 2 + 8 = -2(x - 1)^2 + 10$

$f(x)$ は $x = 1$ のとき最大値 $10$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 1 = 3$ より、$y = \pm\sqrt{3}$

$x = -2$ のとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 4 = 0$ より、$y = 0$ であり、$f(-2) = -2(-2)^2 + 4(-2) + 8 = -8 - 8 + 8 = -8$

したがって、最小値は $-8$ である。

3. 最終的な答え

問題13：$y = 2x^2 - 5x - 5$

問題14：$m=2$ のとき、最大値 $1$

問題15：$x=1$, $y = \pm\sqrt{3}$ のとき最大値 $10$; $x=-2$, $y=0$ のとき最小値 $-8$