(1) 多項式 $-2x+3y+x^2+5x-y$ の同類項をまとめる。 (2) 次の多項式において、指定された文字に着目したときの次数と定数項を答える。 (ア) $x-2xy+3y^2+4-2x-7xy+2y^2-1$ [y] (イ) $a^2b^2-ab+3ab-2a^2b^2+7c^2+4a-5b-3a+1$ [b], [aとb]

1. 問題の内容

(1) 多項式 $-2x+3y+x^2+5x-y$ の同類項をまとめる。

(2) 次の多項式において、指定された文字に着目したときの次数と定数項を答える。

(ア) $x-2xy+3y^2+4-2x-7xy+2y^2-1$ [y]

(イ) $a^2b^2-ab+3ab-2a^2b^2+7c^2+4a-5b-3a+1$ [b], [aとb]

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた多項式の同類項をまとめる。

$x$ の項は $-2x$ と $5x$ なので、$-2x + 5x = 3x$

$y$ の項は $3y$ と $-y$ なので、$3y - y = 2y$

$x^2$ の項は $x^2$ のみ。

定数項は存在しない。

したがって、$x^2 + 3x + 2y$ となる。

(2)(ア)

$x-2xy+3y^2+4-2x-7xy+2y^2-1$ を $y$ について整理する。

$y^2$ の項は $3y^2$ と $2y^2$ なので、$3y^2+2y^2 = 5y^2$

$y$ の項は $-2xy$ と $-7xy$ なので、$-2xy - 7xy = -9xy$

定数項は $x, 4, -2x, -1$ なので、$x + 4 - 2x - 1 = -x + 3$

したがって、与式は $5y^2 - 9xy -x + 3$ となる。

$y$ についての次数は2で、定数項は $-x+3$。

(2)(イ)

$a^2b^2-ab+3ab-2a^2b^2+7c^2+4a-5b-3a+1$ を $b$ について整理する。

$b^2$ の項は $a^2b^2$ と $-2a^2b^2$ なので、$a^2b^2 - 2a^2b^2 = -a^2b^2$

$b$ の項は $-ab$ と $3ab$ と $-5b$ なので、 $-ab + 3ab -5b = 2ab - 5b = (2a-5)b$

定数項は $7c^2+4a-3a+1 = 7c^2+a+1$

したがって、$b$ については $-a^2b^2 + (2a-5)b + (7c^2+a+1)$ となる。

$b$ についての次数は2で、定数項は $7c^2+a+1$

次に、[aとb]について考える。

$a^2b^2-ab+3ab-2a^2b^2+7c^2+4a-5b-3a+1$

$a^2b^2$ の項は $a^2b^2$ と $-2a^2b^2$ なので、$a^2b^2-2a^2b^2 = -a^2b^2$

$ab$ の項は $-ab$ と $3ab$ なので、$-ab+3ab=2ab$

$a$ の項は $4a$ と $-3a$ なので、$4a-3a=a$

$b$ の項は $-5b$

定数項は $7c^2 + 1$

したがって、$-a^2b^2+2ab+a-5b+7c^2+1$ となる。

この多項式の次数は4で、定数項は $7c^2+1$。

3. 最終的な答え

(1) $x^2+3x+2y$

(2) (ア) 次数: 2, 定数項: $-x+3$

(イ) $b$について: 次数: 2, 定数項: $7c^2+a+1$

　　 $[a$と$b]$について: 次数: 4, 定数項: $7c^2+1$