$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ を解きます。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3}\sin x - \cos x$ を $R\sin(x + \alpha)$ の形に書き換えることを考えます。

$R\cos \alpha = \sqrt{3}$ かつ $R\sin \alpha = 1$ となるように、$R$ と $\alpha$ を定めます。

$R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ より、$R = 2$ となります（$R > 0$ なので）。

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

となります。

この式から、

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、$0 \le x < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{6} \le \theta < 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ です。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}$ または $x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

$x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + 2\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$