## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ ($0 \le x \le a$)の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成する。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

この関数は下に凸な放物線であり、軸は $x = \frac{5}{2}$ である。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x = \frac{5}{2}$ が含まれない。

$f(x)$ は減少関数なので、

最大値 $M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

最小値 $m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x = \frac{5}{2}$ が含まれる。

最小値 $m$ は軸でとるので、

$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = -\frac{13}{4}$

最大値 $M$ は、$x=0$ と $x=a$ での $f(x)$ の値を比較して大きい方を選ぶ。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(a) - f(0) = a^2 - 5a = a(a - 5)$

$\frac{5}{2} \le a \le 5$ なので、$a - 5 \le 0$。よって、$a(a - 5) \le 0$。

したがって、$f(a) \le f(0)$ であり、$M = f(0) = 3$

(3) $a > 5$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x = \frac{5}{2}$ が含まれる。

最小値 $m$ は軸でとるので、$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

最大値 $M$ は、$x=0$ と $x=a$ での $f(x)$ の値を比較して大きい方を選ぶ。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(a) - f(0) = a^2 - 5a = a(a - 5)$

$a > 5$ なので、$a - 5 > 0$。よって、$a(a - 5) > 0$。

したがって、$f(a) > f(0)$ であり、$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

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3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$