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$A = x^2 + 3y^2 - 2xy$, $B = y^2 + 3xy - 2x^2$, $C = -3x^2 + xy - 4y^2$であるとき、次の4つの式を計算します。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $-3A + 2B - C$ (4) $3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C))$

代数学式の計算多項式展開
2025/4/17

1. 問題の内容

A=x2+3y2−2xyA = x^2 + 3y^2 - 2xy, B=y2+3xy−2x2B = y^2 + 3xy - 2x^2, C=−3x2+xy−4y2C = -3x^2 + xy - 4y^2であるとき、次の4つの式を計算します。
(1) A+BA + B
(2) A−BA - B
(3) −3A+2B−C-3A + 2B - C
(4) 3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C))

2. 解き方の手順

(1) A+BA + B の計算
A+B=(x2+3y2−2xy)+(y2+3xy−2x2)A + B = (x^2 + 3y^2 - 2xy) + (y^2 + 3xy - 2x^2)
A+B=x2−2x2+3y2+y2−2xy+3xyA + B = x^2 - 2x^2 + 3y^2 + y^2 - 2xy + 3xy
A+B=−x2+4y2+xyA + B = -x^2 + 4y^2 + xy
(2) A−BA - B の計算
A−B=(x2+3y2−2xy)−(y2+3xy−2x2)A - B = (x^2 + 3y^2 - 2xy) - (y^2 + 3xy - 2x^2)
A−B=x2+2x2+3y2−y2−2xy−3xyA - B = x^2 + 2x^2 + 3y^2 - y^2 - 2xy - 3xy
A−B=3x2+2y2−5xyA - B = 3x^2 + 2y^2 - 5xy
(3) −3A+2B−C-3A + 2B - C の計算
−3A=−3(x2+3y2−2xy)=−3x2−9y2+6xy-3A = -3(x^2 + 3y^2 - 2xy) = -3x^2 - 9y^2 + 6xy
2B=2(y2+3xy−2x2)=2y2+6xy−4x22B = 2(y^2 + 3xy - 2x^2) = 2y^2 + 6xy - 4x^2
−C=−(−3x2+xy−4y2)=3x2−xy+4y2-C = -(-3x^2 + xy - 4y^2) = 3x^2 - xy + 4y^2
−3A+2B−C=(−3x2−9y2+6xy)+(2y2+6xy−4x2)+(3x2−xy+4y2)-3A + 2B - C = (-3x^2 - 9y^2 + 6xy) + (2y^2 + 6xy - 4x^2) + (3x^2 - xy + 4y^2)
−3A+2B−C=−3x2−4x2+3x2−9y2+2y2+4y2+6xy+6xy−xy-3A + 2B - C = -3x^2 - 4x^2 + 3x^2 - 9y^2 + 2y^2 + 4y^2 + 6xy + 6xy - xy
−3A+2B−C=−4x2−3y2+11xy-3A + 2B - C = -4x^2 - 3y^2 + 11xy
(4) 3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) の計算
まず 2A+C2A + C を計算します。
2A=2(x2+3y2−2xy)=2x2+6y2−4xy2A = 2(x^2 + 3y^2 - 2xy) = 2x^2 + 6y^2 - 4xy
2A+C=(2x2+6y2−4xy)+(−3x2+xy−4y2)2A + C = (2x^2 + 6y^2 - 4xy) + (-3x^2 + xy - 4y^2)
2A+C=2x2−3x2+6y2−4y2−4xy+xy2A + C = 2x^2 - 3x^2 + 6y^2 - 4y^2 - 4xy + xy
2A+C=−x2+2y2−3xy2A + C = -x^2 + 2y^2 - 3xy
次に、B−CB - C を計算します。
B−C=(y2+3xy−2x2)−(−3x2+xy−4y2)B - C = (y^2 + 3xy - 2x^2) - (-3x^2 + xy - 4y^2)
B−C=−2x2+3x2+y2+4y2+3xy−xyB - C = -2x^2 + 3x^2 + y^2 + 4y^2 + 3xy - xy
B−C=x2+5y2+2xyB - C = x^2 + 5y^2 + 2xy
次に、A+CA + C を計算します。
A+C=(x2+3y2−2xy)+(−3x2+xy−4y2)A + C = (x^2 + 3y^2 - 2xy) + (-3x^2 + xy - 4y^2)
A+C=x2−3x2+3y2−4y2−2xy+xyA + C = x^2 - 3x^2 + 3y^2 - 4y^2 - 2xy + xy
A+C=−2x2−y2−xyA + C = -2x^2 - y^2 - xy
次に、2(A+C)2(A + C) を計算します。
2(A+C)=2(−2x2−y2−xy)2(A + C) = 2(-2x^2 - y^2 - xy)
2(A+C)=−4x2−2y2−2xy2(A + C) = -4x^2 - 2y^2 - 2xy
次に、2(A+C)−(B−C)2(A + C) - (B - C) を計算します。
2(A+C)−(B−C)=(−4x2−2y2−2xy)−(x2+5y2+2xy)2(A + C) - (B - C) = (-4x^2 - 2y^2 - 2xy) - (x^2 + 5y^2 + 2xy)
2(A+C)−(B−C)=−4x2−x2−2y2−5y2−2xy−2xy2(A + C) - (B - C) = -4x^2 - x^2 - 2y^2 - 5y^2 - 2xy - 2xy
2(A+C)−(B−C)=−5x2−7y2−4xy2(A + C) - (B - C) = -5x^2 - 7y^2 - 4xy
次に、3(2A+C)3(2A + C) を計算します。
3(2A+C)=3(−x2+2y2−3xy)=−3x2+6y2−9xy3(2A + C) = 3(-x^2 + 2y^2 - 3xy) = -3x^2 + 6y^2 - 9xy
最後に、3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) を計算します。
3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))=(−3x2+6y2−9xy)−2(−5x2−7y2−4xy)3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) = (-3x^2 + 6y^2 - 9xy) - 2(-5x^2 - 7y^2 - 4xy)
3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))=−3x2+6y2−9xy+10x2+14y2+8xy3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) = -3x^2 + 6y^2 - 9xy + 10x^2 + 14y^2 + 8xy
3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))=7x2+20y2−xy3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) = 7x^2 + 20y^2 - xy

3. 最終的な答え

(1) A+B=−x2+4y2+xyA + B = -x^2 + 4y^2 + xy
(2) A−B=3x2+2y2−5xyA - B = 3x^2 + 2y^2 - 5xy
(3) −3A+2B−C=−4x2−3y2+11xy-3A + 2B - C = -4x^2 - 3y^2 + 11xy
(4) 3(2A+C)−2(2(A+C)−(B−C))=7x2+20y2−xy3(2A + C) - 2(2(A + C) - (B - C)) = 7x^2 + 20y^2 - xy

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