アとイに当てはまる単項式を求めよ。 $3a(a - ア) - イ(2a - 3b) = -5a^2 + 10ab$

1. 問題の内容

アとイに当てはまる単項式を求めよ。

$3a(a - ア) - イ(2a - 3b) = -5a^2 + 10ab$

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、アとイに当てはまる単項式を求める。

まず、左辺を展開する。

$3a^2 - 3a \times ア - イ \times 2a + イ \times 3b = -5a^2 + 10ab$

次に、式の形を整理する。

$3a^2 - 2a \times イ - 3a \times ア + 3b \times イ = -5a^2 + 10ab$

定数項の比較より、$3b \times イ= 10ab$となる。

したがって、$イ = \frac{10}{3}a$である。

しかし、問題文よりイは単項式でなければならないので、この推論は誤りである。

別のやり方で解いてみる。

$3a(a - ア) - イ(2a - 3b) = -5a^2 + 10ab$

まず、与えられた式を整理する。

$3a^2 - 3a \times ア - 2a \times イ + 3b \times イ = -5a^2 + 10ab$

係数を比較する。

$a^2$の項について、$3a^2 - 3a \times ア - 2a \times イ = -5a^2$

$ab$の項について、$3b \times イ = 10ab$

$ab$の項より、$イ = \frac{10}{3}a$を得るが、これはイが単項式であることに反する。

よって、アとイの組み合わせを仮定して検証する。

もしアが$2a$で、イが$2a$なら、

$3a(a-2a)-2a(2a-3b) = 3a(-a)-4a^2+6ab = -3a^2-4a^2+6ab = -7a^2 + 6ab$となり、これは正しくない。

右辺の形から$イ$を決定する。$3b \times イ = 10ab$より、$イ = \frac{10}{3}a$。しかし、$イ$は単項式である必要がある。

次に$ア$について考える。$3a^2 - 3a \times ア - 2a \times イ = -5a^2$より、$3a \times ア + 2a \times イ = 8a^2$

もし$イ$が$4a$であれば、$12ab = 10ab$となり、これは正しくない。

もし$イ=4a$なら、$3b \times 4a = 12ab \neq 10ab$だから、$イ$は$4a$ではない。

もう一度やり直す。

$3a(a - ア) - イ(2a - 3b) = -5a^2 + 10ab$

$3a^2 - 3a * ア - 2a * イ + 3b * イ = -5a^2 + 10ab$

$3b * イ = 10ab$より、$イ = \frac{10}{3}a$となる。これは単項式ではないので、$3b * イ = 10ab$という仮定が間違っている。

$2a \times イ = 4a^2$ ならば、$イ = 2a$。

$3b \times イ = 6ab$ となるので、右辺に6abが必要となるが、10abなので、$2a \times イ = 4a^2$は正しくない。

もし$ア$が$3a$で、$イ$が$4a$なら、

$3a(a - 3a) - 4a(2a - 3b) = 3a(-2a) - 8a^2 + 12ab = -6a^2 - 8a^2 + 12ab = -14a^2 + 12ab \neq -5a^2 + 10ab$.

もう一度式変形をする。

$3a^2 - 3aア - 2aイ + 3bイ = -5a^2 + 10ab$

ここで、$3bイ=10ab$より、$イ = (10ab)/(3b) = (10/3)a$となる。これは単項式でないので、$3bイ=10ab$ではない。

右辺のabの項だけを考えると、$3bイ=10ab$なので、$イ=(10/3)a$になる。

しかし、イは単項式なので、他の項との組み合わせで結果が変わるはず。

ア = 4a, イ = 2aを代入する。

$3a(a-4a)-2a(2a-3b) = 3a(-3a) - 4a^2 + 6ab = -9a^2 -4a^2 + 6ab = -13a^2 + 6ab \neq -5a^2 + 10ab$

ア = (8/3)aとすると、$3a^2-3a*(8/3)a - 2aイ + 3bイ = 3a^2 - 8a^2 - 2aイ + 3bイ = -5a^2 - 2aイ + 3bイ$.

$-2aイ + 3bイ = 10ab$ ならば、$イ(-2a+3b) = 10ab$.

ここで、$3a(a - ア) - イ(2a - 3b) = -5a^2 + 10ab$を変形する

$3a^2 -3aア - 2aイ + 3bイ = -5a^2 + 10ab$

$(-3aア - 2aイ) + 3a^2 + 3bイ = -5a^2 + 10ab$

$(-3aア - 2aイ) = -8a^2 + 10ab - 3bイ$

もし、ア=4/3 a、イ= 2a ならば、

$3a(a-4/3 a) - 2a(2a-3b) = 3a(-1/3 a)- 4a^2 + 6ab = -a^2 - 4a^2 + 6ab = -5a^2 + 6ab$となり、10abではない

ア=2a イ=4aとしてみる。

3a(a-2a)-4a(2a-3b) = 3a(-a) - 8a^2 + 12ab = -3a^2 -8a^2 + 12ab = -11a^2 + 12ab

ア=4/3 a, イ=2a なら、

3a(a-4/3 a) -2a(2a-3b) = -5a^2 +6ab

3. 最終的な答え

ア: (8/3)a

イ: 0