$0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ とする。 $t = \sin \alpha$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) $\sin 5\alpha$ を $t$ の5次式で表す。 (2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ とする。 $t = \sin \alpha$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) $\sin 5\alpha$ を $t$ の5次式で表す。

(2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 5\alpha$ を求める。

加法定理を用いて$\sin 5\alpha = \sin (2\alpha + 3\alpha)$を計算する。

$\sin (2\alpha + 3\alpha) = \sin 2\alpha \cos 3\alpha + \cos 2\alpha \sin 3\alpha$

倍角の公式より

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2t\cos \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2t^2$

3倍角の公式より

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha = 3t - 4t^3$

$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - t^2$より$\cos \alpha = \pm\sqrt{1-t^2}$

$\cos 3\alpha = 4(1 - t^2)\cos \alpha - 3\cos \alpha = (1 - 4t^2)\cos \alpha = \pm(1 - 4t^2)\sqrt{1-t^2}$

したがって、

$\sin 5\alpha = 2t\cos \alpha (\pm(1-4t^2)\sqrt{1-t^2}) + (1-2t^2)(3t-4t^3)$

$\sin 5\alpha = \pm 2t(1-4t^2)(1-t^2) + 3t - 4t^3 - 6t^3 + 8t^5$

$\sin 5\alpha = \pm 2t(1-5t^2+4t^4) + 3t - 10t^3 + 8t^5$

$\sin 5\alpha = \pm (2t-10t^3+8t^5) + 3t - 10t^3 + 8t^5$

$\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$

(2) $\sin 36^\circ$ を求める。

$\alpha = 36^\circ$ のとき、$5\alpha = 180^\circ$ であるから、 $\sin 5\alpha = \sin 180^\circ = 0$

よって、

$16t^5 - 20t^3 + 5t = 0$

$t(16t^4 - 20t^2 + 5) = 0$

$t = \sin 36^\circ \ne 0$ より、 $16t^4 - 20t^2 + 5 = 0$

$t^2 = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{32} = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{32} = \frac{20 \pm 4\sqrt{5}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$

$t^2 = \sin^2 36^\circ > 0$ であるから、 $t^2 = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$

$\sin 36^\circ > 0$ より、 $t = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$

(2) $\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$