問題は以下の2つです。 (1) $\sin 5\alpha$ を $t = \sin \alpha$ の5次式で表す。 (2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\sin 5\alpha$ を $t = \sin \alpha$ の5次式で表す。

(2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 5\alpha$ を $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ で表すために、まず$\sin 5\alpha = \sin (3\alpha + 2\alpha)$と変形し、加法定理を繰り返し利用する。

\begin{align*}

\sin 5\alpha &= \sin(3\alpha + 2\alpha) \\

&= \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha \sin 2\alpha \\

&= (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)(1-2\sin^2\alpha) + (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)(2\sin\alpha \cos\alpha) \\

&= (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)(1-2\sin^2\alpha) + (4\cos^2\alpha - 3)(2\sin\alpha \cos^2\alpha) \\

&= (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)(1-2\sin^2\alpha) + (4(1-\sin^2\alpha) - 3)(2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)) \\

&= (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)(1-2\sin^2\alpha) + (1-4\sin^2\alpha)(2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha) \\

&= 3\sin\alpha - 6\sin^3\alpha - 4\sin^3\alpha + 8\sin^5\alpha + 2\sin\alpha - 8\sin^3\alpha - 2\sin^3\alpha + 8\sin^5\alpha \\

&= 5\sin\alpha - 20\sin^3\alpha + 16\sin^5\alpha

\end{align*}

$t = \sin \alpha$ より、$\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$.

(2) $\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$ を利用して$\sin 36^\circ$ を求める。

$\alpha = 36^\circ$ のとき、$5\alpha = 180^\circ$ だから、$\sin 5\alpha = \sin 180^\circ = 0$.

$t = \sin 36^\circ$ とおくと、

$16t^5 - 20t^3 + 5t = 0$

$t(16t^4 - 20t^2 + 5) = 0$.

$\sin 36^\circ \neq 0$ なので、$t \neq 0$. したがって、$16t^4 - 20t^2 + 5 = 0$.

$u = t^2$ とおくと、$16u^2 - 20u + 5 = 0$.

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{32} = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{32} = \frac{20 \pm 4\sqrt{5}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$.

$t^2 = \sin^2 36^\circ > 0$.

$t^2 = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$.

$\sin 36^\circ > 0$ なので、$t = \sqrt{\frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}}$.

$36^\circ$ は第一象限の角なので、$\sin 36^\circ < \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

$\frac{5+\sqrt{5}}{8} \approx \frac{5+2.236}{8} = \frac{7.236}{8} \approx 0.9045$

$\frac{5-\sqrt{5}}{8} \approx \frac{5-2.236}{8} = \frac{2.764}{8} \approx 0.3455$.

よって、$t = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$

(2) $\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$