## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

3つの数列に関する問題です。

* (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

* (2) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について、$\{a_n - \alpha\}$ の形が等比数列になるように $\alpha$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。

* (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4a_n - 1$ で与えられるとき、$a_1$ と $a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、$a_n$ の一般項を求める。

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2. 解き方の手順

### (1)

$a_{n+1} = a_n + 2n$ なので、階差数列を考える。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$.

よって、$a_n = n^2 - n + 1$.

### (2)

$a_{n+1} = 3a_n - 2$ に対して、$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 3a_n - 2$ と $a_{n+1} = 3a_n - 2\alpha$ を比較して、$2\alpha = 2$ より $\alpha = 1$ 。

したがって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ であり、数列 $\{a_n - 1\}$ は初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比 3 の等比数列である。

$a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 3^{n-1} + 1$

### (3)

$S_n = 4a_n - 1$ であり、$S_1 = a_1$ なので、$a_1 = 4a_1 - 1$。

$3a_1 = 1$ より $a_1 = \frac{1}{3}$.

また、$S_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$ であり、$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ なので、$S_n + a_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$。

$S_n = 4a_n - 1$ より、$4a_n - 1 + a_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$。

$4a_n = 3a_{n+1}$ より、$a_{n+1} = \frac{4}{3}a_n$.

したがって、数列 $\{a_n\}$ は初項 $\frac{1}{3}$, 公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。

$a_n = \frac{1}{3} \cdot (\frac{4}{3})^{n-1}$

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3. 最終的な答え

(1) 1: - , 2: 1, $a_n = n^2 - n + 1$

(2) 3: 1, 4: 1, 5: 3, 6: 3, 7: 1, $a_n = 3^{n-1} + 1$

(3) 8: 1, 9: 3, 10: 4, 11: 3, 12: 4, 13: 3, $a_n = \frac{1}{3} \cdot (\frac{4}{3})^{n-1}$