不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $x$ について解く。

$4x + 1 < 3(x+a)$

$4x + 1 < 3x + 3a$

$4x - 3x < 3a - 1$

$x < 3a - 1$

不等式を満たす最大の整数 $x$ が $5$ であるということは、$x < 3a - 1$ を満たす最大の整数が $5$ であるということである。

これは、$5 < 3a - 1 \leq 6$ であることを意味する。

不等号の左側は $x=5$ が解であるための条件であり、右側は $x=6$ が解でないための条件である。

まず、$5 < 3a - 1$ より、

$6 < 3a$

$2 < a$

次に、$3a - 1 \leq 6$ より、

$3a \leq 7$

$a \leq \frac{7}{3}$

したがって、$2 < a \leq \frac{7}{3}$ が求める $a$ の範囲である。

3. 最終的な答え

$2 < a \leq \frac{7}{3}$