$(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。$(a+b)^n$ の展開式における一般項は ${}_n C_r a^{n-r}b^r$ で表される。

今回の問題では、$(2x+3)^4$ の展開式における一般項は ${}_4 C_r (2x)^{4-r}3^r$ となる。

$x^3$ の係数を求めるためには、$4-r = 3$ となる $r$ を探す。この式を解くと、$r=1$ となる。

よって、$x^3$ の項は ${}_4 C_1 (2x)^3 3^1$ となる。

${}_4 C_1 = 4$ であり、$3^1 = 3$ であるから、

$4 (2x)^3 (3) = 4 \cdot 8x^3 \cdot 3 = 96x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $96$ となる。

3. 最終的な答え

96