$(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

$(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて$(x-2y)^5$を展開します。二項定理より、$(x+y)^n$の展開式の一般項は$_{n}C_{r}x^{n-r}y^{r}$で与えられます。今回の問題では$x$が$x$, $y$が$-2y$, $n$が$5$に対応します。

求める項は$x^2y^3$なので、$x^{5-r}$が$x^2$となる必要があり、$y^r$が$y^3$になる必要があります。したがって、$5-r = 2$ と $r=3$ が成り立ちます。

$r=3$ を一般項に代入すると、

$_{5}C_{3}x^{5-3}(-2y)^{3}$ となります。

$_{5}C_{3}$は、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、$x^2y^3$ の項は、

$10x^2(-2y)^3 = 10x^2(-8y^3) = -80x^2y^3$

となります。

3. 最終的な答え

-80