与えられた式 $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^3-1}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^3-1}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 1$ を因数分解します。

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$

次に、与えられた式を通分します。共通の分母は $(x+1)(x-1)(x^2+x+1)$ です。

$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^3-1} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}$

$= \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{(2x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)}$

分子を展開します。

$= \frac{x^3 - 1}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)}$

$= \frac{x^3 - 1 - (x^3+x^2+x+x^2+x+1) + 2x^2+3x+1}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)}$

$= \frac{x^3 - 1 - x^3 - 2x^2 - 2x - 1 + 2x^2+3x+1}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)}$

分子を整理します。

$= \frac{x - 1}{(x+1)(x-1)(x^2+x+1)}$

$(x-1)$を約分します。

$= \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)}$

$(x+1)(x^2+x+1)$を展開します。

$= \frac{1}{x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1}$

$= \frac{1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$