与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおくことで、方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形し、$a$ と $b$ の値を求め、その後、元の方程式の実数解 $x$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおくことで、方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形し、$a$ と $b$ の値を求め、その後、元の方程式の実数解 $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

1. $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ を $x^2$ で割ります。ただし、$x \neq 0$ であることを確認します（$x=0$は方程式の解ではないので、割っても問題ありません）。

$$\frac{x^4}{x^2} + \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$$

$$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

2. 式を整理します。

$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0$$

3. $y = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$ となります。

4. 上記の式を元の式に代入します。

$$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$$

$$y^2 + 2y - 3 = 0$$

5. $y^2 + ay + b = 0$ と比較すると、$a = 2$、$b = -3$ となります。

6. $y^2 + 2y - 3 = 0$ を解きます。

$$(y + 3)(y - 1) = 0$$

よって、$y = -3, 1$ となります。

7. $y = x + \frac{1}{x}$ より、$x + \frac{1}{x} = -3$ と $x + \frac{1}{x} = 1$ を解きます。

* $x + \frac{1}{x} = -3$ のとき：

$$x^2 + 1 = -3x$$

$$x^2 + 3x + 1 = 0$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

* $x + \frac{1}{x} = 1$ のとき：

$$x^2 + 1 = x$$

$$x^2 - x + 1 = 0$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

これは実数解ではありません。

8. したがって、実数解は $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

a = 2

b = -3

x = $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$