空間内の4点 O, A, B, C があり、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とします。ベクトルの内積について、$\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{3}$ が成立するとき、以下の問いに答えます。 (1) 点 C を通り $\triangle OAB$ を含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点を D とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CD}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。 (2) 四面体 OABC の体積を求めよ。

1. 問題の内容

空間内の4点 O, A, B, C があり、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とします。ベクトルの内積について、$\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{3}$ が成立するとき、以下の問いに答えます。

(1) 点 C を通り $\triangle OAB$ を含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点を D とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CD}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) 四面体 OABC の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 D は平面 OAB 上にあるので、実数 s, t を用いて $\overrightarrow{OD} = s\vec{a} + t\vec{b}$ と表せます。

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$

$\overrightarrow{CD}$ は平面 OAB に垂直であるので、$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{CD} \cdot \vec{b} = 0$ を満たします。

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{a} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = s(\vec{a} \cdot \vec{a}) + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = s \cdot 1 + t \cdot 0 - \frac{1}{3} = s - \frac{1}{3} = 0$

よって、$s = \frac{1}{3}$

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{b} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = s \cdot 0 + t \cdot 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = t - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

よって、$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}$

(2) 四面体 OABC の体積 V は

$V = \frac{1}{6} | (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$

ここで、$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & 1 \end{vmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - \frac{1}{2}) - 0 + \frac{1}{3} \cdot (0 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9-2}{18} = \frac{7}{18}$

$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \sqrt{\frac{7}{18}} = \frac{\sqrt{14}}{6}$

よって、$V = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}$

(2) $\frac{\sqrt{14}}{36}$