三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をPとする。実数$m, n$を用いて、$\vec{OP}=m\vec{OA}+n\vec{OB}$と表すとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OP}=m\vec{OA}+\square n\vec{OD}$ の $\square$ に適する数を求めよ。 (2) $\vec{OP}=\square m\vec{OC}+n\vec{OB}$ の $\square$ に適する数を求めよ。また、$m, n$の値を求めよ。

## 問題 6 の解答

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をPとする。実数$m, n$を用いて、$\vec{OP}=m\vec{OA}+n\vec{OB}$と表すとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OP}=m\vec{OA}+\square n\vec{OD}$ の $\square$ に適する数を求めよ。

(2) $\vec{OP}=\square m\vec{OC}+n\vec{OB}$ の $\square$ に適する数を求めよ。また、$m, n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) DはOBの中点なので $\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{OB}$である。よって、$n\vec{OD} = n \cdot \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{n}{2} \vec{OB}$。したがって$\vec{OP} = m\vec{OA} + \frac{n}{2} \vec{OB}$と表せる。したがって $\square$ に入るのは $\frac{1}{2}$。

(2) CはOAを2:1に内分するので$\vec{OC} = \frac{2}{3} \vec{OA}$である。よって、$m\vec{OC} = m \cdot \frac{2}{3}\vec{OA} = \frac{2m}{3} \vec{OA}$。したがって$\vec{OP} = \frac{2m}{3}\vec{OA} + n\vec{OB}$と表せる。したがって $\square$ に入るのは $\frac{2}{3}$。

次に、$m$と$n$の値を求める。点Pは線分AD上にあるので、$k$を実数として、

$\vec{OP} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OD}$

$\vec{OP} = (1-k)\vec{OA} + k\frac{1}{2}\vec{OB}$

同様に、点Pは線分BC上にあるので、$l$を実数として、

$\vec{OP} = (1-l)\vec{OB} + l\vec{OC}$

$\vec{OP} = (1-l)\vec{OB} + l\frac{2}{3}\vec{OA}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$1-k = \frac{2}{3}l$

$\frac{1}{2}k = 1-l$

これを解くと、$k = \frac{3}{5}, l = \frac{7}{10}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{5})\vec{OA} + \frac{3}{5}\frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{10}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}l \vec{OA} + (1-l)\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{10}\vec{OA} + (1-\frac{7}{10})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{7}{15}\vec{OA} + \frac{3}{10}\vec{OB}$

したがって、$m = \frac{7}{15}, n = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{2}{3}$, $m = \frac{7}{15}, n = \frac{3}{10}$