与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。 (1) $y^2 = -8x$, A(-2, -4)における接線と法線の方程式を求めます。 (2) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$, A(-1, 3)における接線と法線の方程式を求めます。 (3) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$, A(4, 3)における接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。

(1) $y^2 = -8x$, A(-2, -4)における接線と法線の方程式を求めます。

(2) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$, A(-1, 3)における接線と法線の方程式を求めます。

(3) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$, A(4, 3)における接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y^2 = -8x$ について

まず、両辺を$x$で微分します。

$2y \frac{dy}{dx} = -8$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{y}$

点A(-2, -4)における傾きは、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{-4} = 1$

接線の方程式は、$y - (-4) = 1(x - (-2))$

$y + 4 = x + 2$

$y = x - 2$

法線の方程式は、傾きが-1なので、

$y - (-4) = -1(x - (-2))$

$y + 4 = -x - 2$

$y = -x - 6$

(2) 曲線 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ について

両辺を$x$で微分します。

$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{12} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{y}{6} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}$

点A(-1, 3)における傾きは、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3(-1)}{3} = 1$

接線の方程式は、$y - 3 = 1(x - (-1))$

$y - 3 = x + 1$

$y = x + 4$

法線の方程式は、傾きが-1なので、

$y - 3 = -1(x - (-1))$

$y - 3 = -x - 1$

$y = -x + 2$

(3) 曲線 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ について

両辺を$x$で微分します。

$\frac{2x}{4} - \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} - \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{y}{3} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{2y}$

点A(4, 3)における傾きは、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(4)}{2(3)} = 2$

接線の方程式は、$y - 3 = 2(x - 4)$

$y - 3 = 2x - 8$

$y = 2x - 5$

法線の方程式は、傾きが$-\frac{1}{2}$なので、

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 4)$

$y - 3 = -\frac{1}{2}x + 2$

$y = -\frac{1}{2}x + 5$

3. 最終的な答え

(1) 接線：$y = x - 2$, 法線：$y = -x - 6$

(2) 接線：$y = x + 4$, 法線：$y = -x + 2$

(3) 接線：$y = 2x - 5$, 法線：$y = -\frac{1}{2}x + 5$