与えられた関数 $y = \frac{1}{(2x^3+1)^3}$ の導関数を求める問題です。この関数は、$y = \frac{1}{u^3}$ と $u = 2x^3 + 1$ の合成関数として与えられています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{(2x^3+1)^3}$ の導関数を求める問題です。この関数は、$y = \frac{1}{u^3}$ と $u = 2x^3 + 1$ の合成関数として与えられています。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行うために、連鎖律（チェーンルール）を使用します。連鎖律は、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ と表されます。

まず、$y = \frac{1}{u^3} = u^{-3}$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4} = -\frac{3}{u^4}$

次に、$u = 2x^3 + 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = 6x^2$

連鎖律を使って、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{u^4} \cdot 6x^2 = -\frac{18x^2}{u^4}$

最後に、$u = 2x^3 + 1$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{18x^2}{(2x^3 + 1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{18x^2}{(2x^3 + 1)^4}$