$\int (e^{2x} + \cos(4x)) dx$ を計算しなさい。積分定数$C$を忘れずに。

1. 問題の内容

$\int (e^{2x} + \cos(4x)) dx$ を計算しなさい。積分定数$C$を忘れずに。

2. 解き方の手順

与えられた積分を分解します。

$\int (e^{2x} + \cos(4x)) dx = \int e^{2x} dx + \int \cos(4x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int e^{2x} dx$ について：

$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int e^{2x} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C_1 = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1$

$\int \cos(4x) dx$ について：

$v = 4x$ と置換すると、$dv = 4 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{4} dv$ です。

$\int \cos(4x) dx = \int \cos(v) \frac{1}{4} dv = \frac{1}{4} \int \cos(v) dv = \frac{1}{4} \sin(v) + C_2 = \frac{1}{4} \sin(4x) + C_2$

これらを足し合わせると、

$\int (e^{2x} + \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{4} \sin(4x) + C_1 + C_2$

$C = C_1 + C_2$ とすれば、

$\int (e^{2x} + \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{4} \sin(4x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$