関数 $y = \sin x + \cos 2x$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における $y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x + \cos 2x$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における $y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x$ とおくと、$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2t^2$ となるので、

$y = \sin x + \cos 2x = t + 1 - 2t^2 = -2t^2 + t + 1$ と表せる。

(2) ここで $t = \sin x$ であり、 $0 \le x < 2\pi$ なので、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = -2t^2 + t + 1$ のグラフを考える。$y$ を $t$ で平方完成すると、

$y = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + 1 = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1 = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

よって、このグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$ である。

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$t = \frac{1}{4}$ のとき $y = \frac{9}{8}$ (最大値)。

$t = -1$ のとき $y = -2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 + 1 = -2$ (最小値)。

$t = 1$ のとき $y = -2(1)^2 + 1 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$

したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $-2 \le y \le \frac{9}{8}$ となる。

3. 最終的な答え

$-2 \le y \le \frac{9}{8}$