(1) $\cos\theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を、$\sin\theta > 0$ の場合と $\sin\theta < 0$ の場合それぞれについて求める。 (2) $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$, $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tan2\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\cos\theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を、$\sin\theta > 0$ の場合と $\sin\theta < 0$ の場合それぞれについて求める。

(2) $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$, $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tan2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$。

よって、$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$。

- $\sin\theta > 0$ のとき、$\sin\theta = \frac{3}{5}$。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$。

- $\sin\theta < 0$ のとき、$\sin\theta = -\frac{3}{5}$。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$。

(2)

$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2(-\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$。

$\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$ より、$\sin\alpha < 0$ なので、$\sin\alpha = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$。

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2(-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{3}{4}) = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$。

$\tan2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{1}{8}} = 3\sqrt{7}$。

3. 最終的な答え

(1)

- $\sin\theta > 0$ のとき: $\sin\theta = 3/5$, $\tan\theta = -3/4$

- $\sin\theta < 0$ のとき: $\sin\theta = -3/5$, $\tan\theta = 3/4$

(2)

- $\cos2\alpha = 1/8$

- $\sin2\alpha = 3root7/8$

- $\tan2\alpha = 3root7$