問題は、関数 $f(x)$ に対して、極限 $\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \}$ を計算し、その結果が0になることを示す式を理解することです。示されている式は、関数 $f(x)$ が点 $a$ で微分可能であるという条件に関連しています。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x)$ に対して、極限 $\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \}$ を計算し、その結果が0になることを示す式を理解することです。示されている式は、関数 $f(x)$ が点 $a$ で微分可能であるという条件に関連しています。

2. 解き方の手順

まず、問題の式を注意深く見てみます。

$\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \} = \lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a) = 0$

ここで、以下のステップで考えます。

ステップ1: 左辺は $\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \}$ です。これは、$x$ が $a$ に近づくときの $f(x) - f(a)$ の極限を表しています。

ステップ2: 右辺の最初の部分は、左辺の式を変形したものです。具体的には、$x - a$ を掛けて割り、次のように変形しています。

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

ステップ3: 右辺の2番目の部分は、積の極限の性質を利用しています。つまり、$\lim_{x \to a} (x-a)$ と $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ の積として考えます。

$\lim_{x \to a} (x-a) = 0$ であることは明らかです。

ステップ4: $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は、関数 $f(x)$ の $x = a$ における微分 $f'(a)$ の定義そのものです。

ステップ5: したがって、$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a)$ となります。

ステップ6: 最後に、$0 \cdot f'(a) = 0$ であるため、$\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \} = 0$ となります。

この式は、もし $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$x$ が $a$ に近づくとき、$f(x)$ は $f(a)$ に近づく、つまり $f(x)$ は $x=a$ で連続である、ということを示しています。より正確に言うと、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$f(x)$ は $x=a$ で連続です。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \} = 0$

この式は、関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$x=a$ で連続であることを示しています。