画像に書かれている数式について考察し、その関係性を理解することが目的です。具体的には、 $\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ が $\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ と等しいかどうかを判断することが求められています。

1. 問題の内容

画像に書かれている数式について考察し、その関係性を理解することが目的です。具体的には、

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

が

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

と等しいかどうかを判断することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、極限の性質を理解します。

一般に、$\lim_{x \to a} [g(x) \cdot h(x)] = \lim_{x \to a} g(x) \cdot \lim_{x \to a} h(x)$ が成り立つためには、$\lim_{x \to a} g(x)$ と $\lim_{x \to a} h(x)$ の両方が存在する必要があります。

与えられた問題では、$g(x) = (x-a)$ と $h(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ です。

$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} (x-a) = 0$ です。

一方、$\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であれば、$f'(a)$ に等しくなります。もし $f(x)$ が $x=a$ で微分可能でない場合、この極限は存在しないか、あるいは異なる値を取る可能性があります。

最初の式は、

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} (f(x) - f(a))$

と書き換えることができます。もし $f(x)$ が連続であれば、この極限は $f(a) - f(a) = 0$ になります。

次に、二番目の式は、

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a) = 0$

と書き換えることができます。これは $f'(a)$ が存在する場合です。

重要な点は、最初の式では、$x=a$ での$f(x)$の連続性のみを必要とするのに対し、二番目の式では、$x=a$ での$f(x)$ の微分可能性と極限$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ の存在を必要とすることです。

3. 最終的な答え

$f(x)$が$x=a$で微分可能な場合、または$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$が存在し値が確定できる場合は、どちらの計算方法でも結果は0となり、等しくなります。

しかし、常に等しいとは限りません。

特に、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$が存在しない場合や、$f(x)$が連続でない場合は、等しくならない可能性があります。