$(a+b+c)^7$の展開式における、以下の項の係数を求めます。 (1) $a^2b^2c^3$ (2) $ab^3c^3$ (3) $a^3b^4$

1. 問題の内容

$(a+b+c)^7$の展開式における、以下の項の係数を求めます。

(1) $a^2b^2c^3$

(2) $ab^3c^3$

(3) $a^3b^4$

2. 解き方の手順

多項定理を用いて、$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^pb^qc^r$ の項の係数は、

$\frac{n!}{p!q!r!}$ で求められます。ただし、$p+q+r=n$です。

(1) $a^2b^2c^3$ の係数を求めます。$p=2$, $q=2$, $r=3$, $n=7$ です。

$\frac{7!}{2!2!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5040}{24} = 210$

(2) $ab^3c^3$ の係数を求めます。$p=1$, $q=3$, $r=3$, $n=7$ です。

$\frac{7!}{1!3!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5040}{36} = 140$

(3) $a^3b^4$ の係数を求めます。$p=3$, $q=4$, $r=0$, $n=7$ です。

$(a+b+c)^7 = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$

$a^3b^4c^0$ の項の係数なので、

$\frac{7!}{3!4!0!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{5040}{(6)(24)} = \frac{5040}{144} = 35$

3. 最終的な答え

(1) $a^2b^2c^3$ の係数は 210

(2) $ab^3c^3$ の係数は 140

(3) $a^3b^4$ の係数は 35