画像に書かれた数式の意味と、それに関連する記述について解説を求める問題です。特に、極限の計算と、微分可能性との関係、そして導関数と極値の関係について問われています。

1. 問題の内容

画像に書かれた数式の意味と、それに関連する記述について解説を求める問題です。特に、極限の計算と、微分可能性との関係、そして導関数と極値の関係について問われています。

2. 解き方の手順

まず、画像に書かれた数式を順に確認します。

* $\lim_{x \to a} \{f(x) - f(a)\} = \lim_{x \to a} (x-a) \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a) = 0$

この式は、$x$ が $a$ に近づくとき、$f(x) - f(a)$ の極限が 0 になることを示しています。これは、もし $f'(a)$ が存在すれば、$f(x)$ が $x = a$ で連続であることを意味します。$x-a$ は $x \to a$ で0に近づき、$\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は$f'(a)$に近づくからです。 0かける$f'(a)$で０になります。

* $\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a)$

これも同様に、それぞれの極限を別々に計算し、その積を求めています。

次に、書かれている文章の意味を考えます。

* 「この式は、$x=a$ での $f(x)$ の微分可能性と、極限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ の存在を必要とします。」

これは、上記の数式が成り立つためには、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であること（つまり、$f'(a)$ が存在すること）、そして極限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が存在することが前提条件であることを述べています。

* 「上の文章は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が導関数 $f'(x)$ を持つことと、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ と極値を持つことを意味しますか？」

この問いに対する答えは、部分的に正しいですが、正確ではありません。$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は $f'(a)$ を定義し、$f'(a)$ は $f(x)$ の $x = a$ における微分係数（傾き）を与えます。しかし、これだけでは $f(x)$ が極値を持つとは限りません。$f'(a) = 0$ であっても、$x=a$ が極値であるためには、$f'(x)$ の符号が $x=a$ の前後で変化する必要があります。

3. 最終的な答え

* 与えられた数式は、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であれば、$x \to a$ で $f(x) - f(a)$ は 0 に収束することを示している。

* そのためには、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることと、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が存在することが必要である。

* $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ は、$f'(a)$ が存在することを示す。しかし、$f'(a) = 0$ であっても、必ずしも $x=a$ で極値を持つとは限らない。$x=a$ で極値を持つためには、$f'(x)$ の符号が $x=a$ の前後で変化する必要がある。