問題文は、$ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a) $　が $f'(a)$ が極限値を持つことを意味するか、と問うています。これは微分可能性に関連する質問です。

1. 問題の内容

問題文は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$　が $f'(a)$ が極限値を持つことを意味するか、と問うています。これは微分可能性に関連する質問です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は、$x$ が $a$ に近づくときの、$f(x)$ の $a$ における微分係数の定義です。つまり、この極限が存在し、$f'(a)$ という値を持つということは、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるということです。

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件が満たされている必要があります。

(1) $f(x)$ は $x=a$ で連続である。

(2) $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$　が存在する。

問題文は、この極限が存在することが、$f'(a)$ という微分係数が存在することを意味しているのか、と問うています。

$f'(a)$ は微分係数であり、極限値です。つまり、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が存在するということは、$f'(a)$ という極限値が存在するということです。

3. 最終的な答え

はい、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ は、$f'(a)$ が極限値を持つことを意味します。より正確には、$f$ が $a$ において微分可能であることを意味します。