画像に書かれた式と文章の意味を説明する問題です。 まず、式は次の通りです。 $\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a)$ 次に、文章は次の通りです。 「この式は、$x=a$ での $f(x)$ の微分可能性と極限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ の存在を必要とします。この文章の意味は何ですか。」

1. 問題の内容

画像に書かれた式と文章の意味を説明する問題です。

まず、式は次の通りです。

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a)$

次に、文章は次の通りです。

「この式は、$x=a$ での $f(x)$ の微分可能性と極限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ の存在を必要とします。この文章の意味は何ですか。」

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を詳しく見ていきます。

$\lim_{x \to a} (x-a) = 0$ です。

次に、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は、$f(x)$ の $x=a$ における微分係数の定義そのものです。つまり、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ です。

したがって、与えられた式は、

$\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0 \cdot f'(a)$

と書けます。

左辺は $0 \cdot f'(a) = 0$ となり、右辺も $0 \cdot f'(a) = 0$ なので、この式自体は常に成り立ちます。

問題は、「この式は、$x=a$ での $f(x)$ の微分可能性と極限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ の存在を必要とします。」という文章の意味です。

この式が意味を持つためには、少なくとも $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が存在する必要があります。言い換えれば、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能である必要があります。もし微分可能でなければ、$f'(a)$ は存在せず、式全体の意味がなくなります。

3. 最終的な答え

与えられた式は、関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるという条件のもとで成り立ちます。なぜなら、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ が存在し、$f'(a)$が定義されている必要があるからです。 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、この極限が存在し、$f'(a)$ という具体的な値を持つため、式全体が意味を持ちます。