放物線 $y=x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$b$ を $a$ の式で表す。点 $R(a, b)$ は放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上にあるので、

$b = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

次に、傾き $\frac{1 - \tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}$ を整理する。三角関数の公式より、

$\frac{1 - \tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan{\theta}} - \tan{\theta}\right) = \frac{1}{2}(\cot{\theta} - \tan{\theta}) = \frac{\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}}{2\sin{\theta}\cos{\theta}} = \frac{\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}} = \cot{2\theta}$

次に、放物線の接線の傾きを求める。

$y' = 2x - 2\sqrt{2}$

点 $R$ における接線の傾きは $2a - 2\sqrt{2}$ である。

接線と直線 $x = a$ のなす角が $\theta$ であるから、

$\tan{\theta} = |2a - 2\sqrt{2}|$

ここで $a > \sqrt{2}$ なので、$2a - 2\sqrt{2} > 0$ より、

$\tan{\theta} = 2a - 2\sqrt{2}$

よって、

$\cot{2\theta} = \frac{1}{\tan{2\theta}} = \frac{1 - \tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}} = \frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})} = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}$

点 $R(a, b)$ を通り、傾き $\cot{2\theta}$ の直線の方程式は、

$y - b = \cot{2\theta}(x - a)$

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}(x - a)$

$y = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}(x - a) + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

この直線が $a$ によらない定点 $(x_0, y_0)$ を通るとすると、

$y_0 = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}(x_0 - a) + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$4(a - \sqrt{2})y_0 = [1 - 4(a - \sqrt{2})^2](x_0 - a) + 4(a - \sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)$

$4(a - \sqrt{2})y_0 = (x_0 - a) - 4(a - \sqrt{2})^2(x_0 - a) + 4(a - \sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)$

$4(a - \sqrt{2})y_0 = (x_0 - a) - 4(a - \sqrt{2})^2x_0 + 4(a - \sqrt{2})^3 + 4(a - \sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)$

$4(a - \sqrt{2})y_0 = x_0 - a - 4x_0(a^2 - 2\sqrt{2}a + 2) + 4(a - \sqrt{2})^3 + 4(a - \sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)$

$a$ の係数を比較すると、$x_0 = 2\sqrt{2}$ であると推測できる。

$y = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}(2\sqrt{2} - a) + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = \frac{-(2a - 4\sqrt{2})(1 - 4(a - \sqrt{2})^2)}{4(a - \sqrt{2})} + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = \frac{-(2(a - 2\sqrt{2}))(1 - 4(a - \sqrt{2})^2)}{4(a - \sqrt{2})} + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = \frac{(a - 2\sqrt{2})4(a - \sqrt{2})^2 - (a - 2\sqrt{2})}{2(a - \sqrt{2})} + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{-1 + 4(a-\sqrt{2})^2}{4(a-\sqrt{2})}(a - 2\sqrt{2})$

$x = 2\sqrt{2}$ のとき

$y = a^2 - 2\sqrt{2} a + 4 + \frac{(1 - 4(a-\sqrt{2})^2)}{4(a-\sqrt{2})} (a-2\sqrt{2})$

$x = 2\sqrt{2}$ を代入

$y = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$(2\sqrt{2}, 4)$