放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 R が放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上にあるので、$b = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$ が成り立ちます。

次に、点 $R(a, b)$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線の方程式を求めます。

傾きを $m$ とすると、

$m = \frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta} = \frac{\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \cot 2\theta$

直線の方程式は

$y - b = m(x - a)$

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \cot 2\theta (x - a)$

与えられた条件から、接線と $x = a$ のなす角が $\theta$ なので、接線の傾きは $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$ である。

放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ を微分すると

$y' = 2x - 2\sqrt{2}$

点 $R(a, b)$ における接線の傾きは $2a - 2\sqrt{2}$ なので、

$2a - 2\sqrt{2} = \cot \theta$

$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{1}{\cot 2\theta}$

$\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \cot 2\theta (x - a)$

$y = (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) + \cot 2\theta (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta} (x - a)$

ここで、$2a - 2\sqrt{2} = \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ なので、$\tan \theta = \frac{1}{2a - 2\sqrt{2}}$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{1 - \frac{1}{(2a - 2\sqrt{2})^2}}{\frac{2}{2a - 2\sqrt{2}}} (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{(2a - 2\sqrt{2})^2 - 1}{2(2a - 2\sqrt{2})^2} (2a - 2\sqrt{2}) (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{(2a - 2\sqrt{2})^2 - 1}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{4(a - \sqrt{2})^2 - 1}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{4(a^2 - 2\sqrt{2}a + 2) - 1}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{4a^2 - 8\sqrt{2}a + 7}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$4(a - \sqrt{2})y = 4(a - \sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) + (4a^2 - 8\sqrt{2}a + 7) (x - a)$

$4(a - \sqrt{2})y = 4(a^3 - 2\sqrt{2}a^2 + 4a - \sqrt{2}a^2 + 4a - 4\sqrt{2}) + (4a^2 - 8\sqrt{2}a + 7)x - (4a^3 - 8\sqrt{2}a^2 + 7a)$

$4(a - \sqrt{2})y = 4a^3 - 12\sqrt{2}a^2 + 32a - 16\sqrt{2} + (4a^2 - 8\sqrt{2}a + 7)x - (4a^3 - 8\sqrt{2}a^2 + 7a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y = -4\sqrt{2}a^2 + 25a - 16\sqrt{2} + (4a^2 - 8\sqrt{2}a + 7)x$

$(4y + 4\sqrt{2}x - 25)a = 4\sqrt{2}y + (8\sqrt{2}x)a^2 + 16\sqrt{2} - 7x$

$a$ によらないためには、

$4y + 4\sqrt{2}x - 25 = 0$ かつ $4\sqrt{2}y + 16\sqrt{2} = 7x$

$4y = 25 - 4\sqrt{2}x$ かつ $4\sqrt{2}y = 7x - 16\sqrt{2}$

$4\sqrt{2}y = 25\sqrt{2} - 8x$

$7x - 16\sqrt{2} = 25\sqrt{2} - 8x$

$15x = 41\sqrt{2}$

$x = \frac{41\sqrt{2}}{15}$

$4y = 25 - 4\sqrt{2}(\frac{41\sqrt{2}}{15}) = 25 - \frac{328}{15} = \frac{375 - 328}{15} = \frac{47}{15}$

$y = \frac{47}{60}$

3. 最終的な答え

定点の座標は $\left( \frac{41\sqrt{2}}{15}, \frac{47}{60} \right)$