2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $(\alpha - \beta)^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $(\alpha - \beta)^2$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -3$$

$$\alpha \beta = -1$$

である。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$

なので、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$

$$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$$

$$= (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$$

$$= (-3)((-3)^2 - 3(-1)) = (-3)(9 + 3) = (-3)(12) = -36$$

(3) $(\alpha - \beta)^2$ を求める。

$$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$$

$$= (-3)^2 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -36$

(3) $(\alpha - \beta)^2 = 13$