関数 $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{2^y + 2^{-y}}{2}$

次に、$y$ について解きます。両辺に2をかけると、

$2x = 2^y + 2^{-y}$

$2^y = t$ とおくと、$2^{-y} = \frac{1}{t}$ となるので、

$2x = t + \frac{1}{t}$

両辺に $t$ をかけると、

$2xt = t^2 + 1$

$t^2 - 2xt + 1 = 0$

これは $t$ についての二次方程式なので、解の公式を用いると、

$t = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4}}{2} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$

$t = 2^y$ なので、$2^y = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$

よって、$y = \log_2(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

ここで、$x + \sqrt{x^2 - 1} > 0$ かつ $x - \sqrt{x^2 - 1} > 0$ である必要があるので、$x > 1$ である必要がある。

また、$x + \sqrt{x^2-1}$ と $x - \sqrt{x^2-1}$ は互いに逆数である。

$(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1}) = x^2 - (x^2-1) = 1$

$2^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$ のとき、$y = \log_2(x + \sqrt{x^2 - 1})$

$2^y = x - \sqrt{x^2 - 1}$ のとき、$y = \log_2(x - \sqrt{x^2 - 1}) = \log_2(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}) = -\log_2(x + \sqrt{x^2 - 1})$

したがって、

$y = \pm \log_2(x + \sqrt{x^2 - 1})$

3. 最終的な答え

$y = \pm \log_2(x + \sqrt{x^2 - 1})$