与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - xy - 6y^2$の部分を因数分解する。

$x^2 - xy - 6y^2 = (x-3y)(x+2y)$

次に、与式を$(x-3y)(x+2y) + 3x + y + 2$と書き換え、与式全体が$(x-3y+A)(x+2y+B)$という形に因数分解できると仮定して、展開してみる。

$(x-3y+A)(x+2y+B) = x^2 -xy - 6y^2 + (A+B)x + (2A-3B)y + AB$

元の式と比較すると、

$A+B = 3$

$2A - 3B = 1$

$AB = 2$

という連立方程式が得られる。

$A+B = 3$ より $B = 3 - A$ なので、$2A - 3(3-A) = 1$に代入して $A$ について解く。

$2A - 9 + 3A = 1$

$5A = 10$

$A = 2$

$A = 2$ を $A+B=3$ に代入すると、$B=1$ となる。

$AB = 2 \times 1 = 2$ となり、条件を満たす。

したがって、$x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2 = (x - 3y + 2)(x + 2y + 1)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x - 3y + 2)(x + 2y + 1)$