6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる数字を使って整数を作るとき、以下の問いに答えよ。 (1) 5桁の整数は何個あるか。 (2) 4桁の偶数は何個あるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる数字を使って整数を作るとき、以下の問いに答えよ。

(1) 5桁の整数は何個あるか。

(2) 4桁の偶数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数について

5桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字が入ります。

千の位には1, 2, 3, 4, 5のいずれかの数字が入るので、5通りの選択肢があります。

百の位には、千の位で使った数字以外の数字が入るので、0も含めて5通りの選択肢があります。

十の位には、千の位と百の位で使った数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢があります。

一の位には、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の数字が入るので、3通りの選択肢があります。

したがって、5桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個です。

(2) 4桁の偶数について

4桁の偶数を作る場合、一の位には0, 2, 4のいずれかの数字が入ります。

場合分けをして考えます。

(i) 一の位が0の場合

千の位には1, 2, 3, 4, 5のいずれかの数字が入るので、5通りの選択肢があります。

百の位には、千の位と一の位で使った数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢があります。

十の位には、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の数字が入るので、3通りの選択肢があります。

したがって、この場合の整数の個数は $5 \times 4 \times 3 = 60$個です。

(ii) 一の位が2または4の場合

一の位には2通りの選択肢があります。

千の位には、0と一の位で使った数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢があります。

百の位には、千の位と一の位で使った数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢があります。

十の位には、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の数字が入るので、3通りの選択肢があります。

したがって、この場合の整数の個数は $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$個です。

(i), (ii)より、4桁の偶数の個数は $60 + 96 = 156$個です。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 156個