与えられた数式 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ を簡単にします。

$\sqrt{6} = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{3} \times \sqrt{2}$なので、

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

次に、$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。分母の共役である $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$

分母を展開すると、

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 3-5 = -2$

したがって、

$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{-2} = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = -\sqrt{3}+\sqrt{5}$

元の式に戻って計算します。

$\sqrt{3} + (-\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$