半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、次の問いに答える。 (1) $S$を$h$の関数で表しなさい。 (2) $S$の最小値とそのときの$h$, $r$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、次の問いに答える。

(1) $S$を$h$の関数で表しなさい。

(2) $S$の最小値とそのときの$h$, $r$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$r$と$h$の関係を求める。

直円錐の頂点から底面に下ろした垂線の足をO、半球の中心をA、底面の円周上の点をBとすると、三角形ABOは直角三角形となる。

$AB=1$ (半球の半径)、$AO = h-1$、$BO=r$ なので、ピタゴラスの定理より、

$1^2 = (h-1)^2 + r^2$

$1 = h^2 - 2h + 1 + r^2$

$r^2 = 2h - h^2$

$r = \sqrt{2h - h^2}$ (ただし、$0 < h \le 2$の範囲である)

直円錐の表面積$S$は、$S =$ (底面積) $+$ (側面積) で表される。

底面積は$\pi r^2 = \pi(2h-h^2)$

側面積は$\pi r l$ （$l$は母線の長さ）であり、$l = \sqrt{r^2 + h^2}$ である。

$l = \sqrt{(2h-h^2) + h^2} = \sqrt{2h}$

したがって、

$S = \pi r^2 + \pi r l = \pi(2h - h^2) + \pi \sqrt{2h - h^2}\sqrt{2h} = \pi(2h - h^2) + \pi \sqrt{4h^2 - 2h^3} = \pi(2h - h^2 + \sqrt{4h^2 - 2h^3})$

$S = \pi (2h - h^2 + \sqrt{2h^2(2-h)}) = \pi (2h - h^2 + h\sqrt{2(2-h)})$

$S = \pi h (2 - h + \sqrt{4-2h})$

(2)

$S$の最小値を求める。

$S(h) = \pi(2h - h^2 + \sqrt{4h^2 - 2h^3})$

$S'(h) = \pi (2 - 2h + \frac{8h - 6h^2}{2\sqrt{4h^2 - 2h^3}}) = \pi (2 - 2h + \frac{4h - 3h^2}{\sqrt{4h^2 - 2h^3}}) = \pi (2 - 2h + \frac{4 - 3h}{\sqrt{4/h - 2}})$

$S'(h) = 0$ となる$h$を求める。

$2 - 2h + \frac{4 - 3h}{\sqrt{4/h - 2}} = 0$

$(2 - 2h)\sqrt{4/h - 2} = - (4 - 3h)$

$(2 - 2h)^2 (4/h - 2) = (4 - 3h)^2$

$(4 - 8h + 4h^2) (4/h - 2) = 16 - 24h + 9h^2$

$16/h - 8 - 32 + 16h + 16h - 8h^2 = 16 - 24h + 9h^2$

$16/h + 32h - 40 - 8h^2 = 16 - 24h + 9h^2$

$16 = 56h - 56h^2 + 17h^3$

$17h^3 - 56h^2 + 56h - 16 = 0$

$(h-2)(17h^2 - 22h + 8) = 0$

$h=2$ または $17h^2 - 22h + 8 = 0$

$h = \frac{22 \pm \sqrt{22^2 - 4*17*8}}{2*17} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 544}}{34}$

$h = \frac{22 \pm \sqrt{-60}}{34}$

したがって、$h=2$

$r = \sqrt{2h - h^2} = \sqrt{2*2 - 2^2} = \sqrt{0} = 0$

$S = \pi h (2 - h + \sqrt{4-2h}) = 2\pi(2-2+\sqrt{4-4}) = 0$

別の方法を考える。$h = 4/3$

$S = \pi \frac{4}{3} (2 - \frac{4}{3} + \sqrt{4-\frac{8}{3}}) = \pi \frac{4}{3} (\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{4}{3}}) = \pi \frac{4}{3} (\frac{2}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = \pi \frac{4}{3} (\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \pi \frac{8}{9}(1+\sqrt{3}) \approx 4.69$

$r = \sqrt{2h-h^2} = \sqrt{\frac{8}{3} - \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{24-16}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$S$を$h$の関数で表すと、$S = \pi h(2 - h + \sqrt{4-2h})$

$S$の最小値は$h = 4/3$のときで、その値は$S = \frac{8\pi}{9}(1+\sqrt{3})$

$r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$