$x$軸上を正の向きに進む波長が6.0mの正弦波がある。ある点における時刻$t$ [s]での変位$y$ [m]が $y = 2.0 \cos(8.0 \pi t)$ で表される。 (1) この波の周期$T$ [s]と速さ$v$ [m/s]を求めよ。 (2) 座標$x$ [m]の点における、時刻$t$ [s]での変位$y$ [m]を表す式を作れ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$x$軸上を正の向きに進む波長が6.0mの正弦波がある。ある点における時刻$t$ [s]での変位$y$ [m]が $y = 2.0 \cos(8.0 \pi t)$ で表される。

(1) この波の周期$T$ [s]と速さ$v$ [m/s]を求めよ。

(2) 座標$x$ [m]の点における、時刻$t$ [s]での変位$y$ [m]を表す式を作れ。

2. 解き方の手順

(1) 周期$T$と速さ$v$を求める。

与えられた式は $y = 2.0 \cos(8.0 \pi t)$ である。

一般的に、時刻 $t$ の関数としての変位は、$y = A \cos(\omega t)$ と表せる。ここで、$A$ は振幅、$\omega$ は角振動数である。

角振動数 $\omega$ と周期 $T$ の関係は $\omega = \frac{2\pi}{T}$ である。

したがって、$\frac{2\pi}{T} = 8.0 \pi$ となる。

これから周期 $T$ を求められる。

$T = \frac{2\pi}{8.0\pi} = \frac{1}{4.0} = 0.25 \text{ s}$

波の速さ $v$ は、波長 $\lambda$ と周期 $T$ を用いて、$v = \frac{\lambda}{T}$ で求められる。

波長 $\lambda = 6.0 \text{ m}$ と周期 $T = 0.25 \text{ s}$ を代入して、速さ $v$ を求める。

$v = \frac{6.0}{0.25} = 24 \text{ m/s}$

(2) 座標$x$ [m]の点における、時刻$t$ [s]での変位$y$ [m]を表す式を作る。

与えられた変位の式は、ある一点における時間変化を表している。$x$軸上を正の方向に進む波の一般的な式は

$y = A \cos(\omega t - kx)$ である。ここで、$k$ は波数であり、$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ で表される。

問題文から、$\omega = 8.0 \pi$、$A = 2.0$、$\lambda = 6.0$ であることがわかる。

波数 $k$ を計算する。

$k = \frac{2\pi}{6.0} = \frac{\pi}{3}$

したがって、$x$ [m]の点の、時刻$t$ [s]における変位$y$ [m]を表す式は、

$y = 2.0 \cos(8.0 \pi t - \frac{\pi}{3}x)$

3. 最終的な答え

(1) 周期: $T = 0.25 \text{ s}$, 速さ: $v = 24 \text{ m/s}$

(2) $y = 2.0 \cos(8.0 \pi t - \frac{\pi}{3}x)$