問題1は、与えられた行列に関する等式を満たす実数 $x$, $y$, $z$ の組を求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} y & z \\ z & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 2x \\ 2x & |y|+8 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & x + 9z^{-1} \\ 9y-3^z & x + 10y \end{pmatrix} = E$, ただし $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2x2の単位行列

1. 問題の内容

問題1は、与えられた行列に関する等式を満たす実数 $x$, $y$, $z$ の組を求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} y & z \\ z & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 2x \\ 2x & |y|+8 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & x + 9z^{-1} \\ 9y-3^z & x + 10y \end{pmatrix} = E$, ただし $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2x2の単位行列

2. 解き方の手順

(1) 行列の各成分を比較すると、以下の連立方程式を得ます。

$y = z$

$z = 2x$

$z = 2x$

$x^2 = |y| + 8$

$y = z$ かつ $z = 2x$ より $y = 2x$ となります。

これを $x^2 = |y| + 8$ に代入すると、 $x^2 = |2x| + 8$ となります。

場合分けして考えます。

(i) $x \geq 0$ のとき、$x^2 = 2x + 8$ より $x^2 - 2x - 8 = 0$。これを解くと $(x-4)(x+2) = 0$ より $x = 4, -2$。$x \geq 0$ より $x = 4$。このとき $y = 2x = 8$, $z = y = 8$。

(ii) $x < 0$ のとき、$x^2 = -2x + 8$ より $x^2 + 2x - 8 = 0$。これを解くと $(x+4)(x-2) = 0$ より $x = -4, 2$。$x < 0$ より $x = -4$。このとき $y = 2x = -8$, $z = y = -8$。

(2) 行列の各成分を比較すると、以下の連立方程式を得ます。

$1 = 1$

$x + 9z^{-1} = 0$

$9y - 3^z = 0$

$x + 10y = 1$

$x + 9z^{-1} = 0$ より $x = -9z^{-1}$

$9y - 3^z = 0$ より $9y = 3^z$、すなわち $y = \frac{1}{9} 3^z = 3^{z-2}$

$x + 10y = 1$ に $x = -9z^{-1}$ と $y = 3^{z-2}$ を代入すると、 $-9z^{-1} + 10 \cdot 3^{z-2} = 1$。

$x = -9/z$, $y = 3^{z-2} = 3^z/9$ を $x+10y = 1$ に代入すると

$-9/z + (10/9) 3^z = 1$

$3^z = 3$ のとき、$z=1$, よって $x = -9$, $y = 1/3$

$-9 + 10/3 = 1$　これは誤り

$z=2$ のとき $x = -9/2$, $y = 1$

$-9/2 + 10 = 1$ ではない

$x = 1 - 10y = -9/z$ とすると、 $z = -9/(1-10y)$,

$9y = 3^z = 3^{-9/(1-10y)}$.

$y = \frac{1}{3}$を代入すると、 $9 \cdot \frac{1}{3} = 3 = 3^z$ より $z = 1$

このとき $x = -9z^{-1} = -9$

$x + 10y = -9 + 10/3 = -17/3 \neq 1$ なので誤り

$y = 0$のとき $9y - 3^z = -3^z = 0$ となり、矛盾

$z = 2$の時, $9y - 3^z = 9y - 9 = 0$.　よって $y = 1$

$x + 10y = x + 10 = 1$ より $x = -9$

$x + 9z^{-1} = -9 + 9/2 \neq 0$ より誤り

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (4, 8, 8), (-4, -8, -8)$

(2) 解なし