問題は、ベクトル関数 $A(t)$, $B(t)$ とスカラー関数 $k(t)$ に関する2つの関係式（ライプニッツ・ルール）が成り立つことを示すこと、および、$A^2 = \text{const.}$ のときに $A \perp \frac{dA}{dt}$ であることを示し、その幾何学的意味を図示を交えて説明することです。 関係式は以下の通りです。 (7) $\frac{d}{dt}(kA) = \frac{dk}{dt}A + k\frac{dA}{dt}$ (8) $\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \frac{dA}{dt} \cdot B + A \cdot \frac{dB}{dt}$

1. 問題の内容

問題は、ベクトル関数 $A(t)$, $B(t)$ とスカラー関数 $k(t)$ に関する2つの関係式（ライプニッツ・ルール）が成り立つことを示すこと、および、$A^2 = \text{const.}$ のときに $A \perp \frac{dA}{dt}$ であることを示し、その幾何学的意味を図示を交えて説明することです。

関係式は以下の通りです。

(7) $\frac{d}{dt}(kA) = \frac{dk}{dt}A + k\frac{dA}{dt}$

(8) $\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \frac{dA}{dt} \cdot B + A \cdot \frac{dB}{dt}$

2. 解き方の手順

(7) の証明:

$kA$ の時間微分を、微分の定義に従って計算します。

$\frac{d}{dt}(kA) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{k(t+\Delta t)A(t+\Delta t) - k(t)A(t)}{\Delta t}$

この式を整理します。

$\frac{d}{dt}(kA) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{k(t+\Delta t)A(t+\Delta t) - k(t+\Delta t)A(t) + k(t+\Delta t)A(t) - k(t)A(t)}{\Delta t}$

$\frac{d}{dt}(kA) = \lim_{\Delta t \to 0} \left( k(t+\Delta t) \frac{A(t+\Delta t) - A(t)}{\Delta t} + \frac{k(t+\Delta t) - k(t)}{\Delta t} A(t) \right)$

$\Delta t \to 0$ の極限を取ると、微分の定義より、

$\frac{d}{dt}(kA) = k(t) \frac{dA}{dt} + \frac{dk}{dt} A(t)$

よって、(7) が示されました。

(8) の証明:

$A \cdot B$ の時間微分を、微分の定義に従って計算します。

$\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{A(t+\Delta t) \cdot B(t+\Delta t) - A(t) \cdot B(t)}{\Delta t}$

この式を整理します。

$\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{A(t+\Delta t) \cdot B(t+\Delta t) - A(t+\Delta t) \cdot B(t) + A(t+\Delta t) \cdot B(t) - A(t) \cdot B(t)}{\Delta t}$

$\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \lim_{\Delta t \to 0} \left( A(t+\Delta t) \cdot \frac{B(t+\Delta t) - B(t)}{\Delta t} + \frac{A(t+\Delta t) - A(t)}{\Delta t} \cdot B(t) \right)$

$\Delta t \to 0$ の極限を取ると、微分の定義より、

$\frac{d}{dt}(A \cdot B) = A(t) \cdot \frac{dB}{dt} + \frac{dA}{dt} \cdot B(t)$

よって、(8) が示されました。

$A^2 = \text{const.}$ のとき、$A \perp \frac{dA}{dt}$ であることの証明:

$A^2 = A \cdot A = \text{const.}$ です。

両辺を時間 $t$ で微分します。

$\frac{d}{dt}(A \cdot A) = \frac{d}{dt}(\text{const.}) = 0$

(8) の結果を用いると、

$\frac{dA}{dt} \cdot A + A \cdot \frac{dA}{dt} = 0$

内積の可換性より、$A \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dt} \cdot A$ なので、

$2 A \cdot \frac{dA}{dt} = 0$

したがって、

$A \cdot \frac{dA}{dt} = 0$

これは、$A$ と $\frac{dA}{dt}$ が直交することを意味します。つまり、$A \perp \frac{dA}{dt}$ です。

幾何学的意味:

ベクトル $A$ の大きさは一定で、向きだけが変化する場合、ベクトル $A$ の変化 $\frac{dA}{dt}$ は常にベクトル $A$ に垂直になります。これは、ベクトル $A$ の先端が、半径が $|A|$ の円周上を運動していると考えると理解できます。速度ベクトルは常に円の半径（この場合はベクトル $A$）に垂直です。

3. 最終的な答え

(7) $\frac{d}{dt}(kA) = \frac{dk}{dt}A + k\frac{dA}{dt}$ は証明されました。

(8) $\frac{d}{dt}(A \cdot B) = \frac{dA}{dt} \cdot B + A \cdot \frac{dB}{dt}$ は証明されました。

$A^2 = \text{const.}$ のとき、$A \perp \frac{dA}{dt}$ であることが証明されました。

幾何学的意味は、ベクトル $A$ の大きさが一定で、向きだけが変化する場合、ベクトル $A$ の変化 $\frac{dA}{dt}$ は常にベクトル $A$ に垂直になるということです。