$x^5 = 1$ の $1$ と異なる解の一つを $\alpha$ とするとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^{2024} + \alpha^{2023} + \alpha^{2022} + \alpha^{2021}$ (2) $\alpha + \frac{1}{\alpha}$

1. 問題の内容

$x^5 = 1$ の $1$ と異なる解の一つを $\alpha$ とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^{2024} + \alpha^{2023} + \alpha^{2022} + \alpha^{2021}$

(2) $\alpha + \frac{1}{\alpha}$

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ は $x^5 = 1$ の解なので、$\alpha^5 = 1$ が成り立つ。

$\alpha^{2024} + \alpha^{2023} + \alpha^{2022} + \alpha^{2021}$ を計算する。

指数を5で割った余りを考える。

$2024 = 5 \times 404 + 4$

$2023 = 5 \times 404 + 3$

$2022 = 5 \times 404 + 2$

$2021 = 5 \times 404 + 1$

よって、

$\alpha^{2024} = (\alpha^5)^{404} \cdot \alpha^4 = 1^{404} \cdot \alpha^4 = \alpha^4$

$\alpha^{2023} = (\alpha^5)^{404} \cdot \alpha^3 = 1^{404} \cdot \alpha^3 = \alpha^3$

$\alpha^{2022} = (\alpha^5)^{404} \cdot \alpha^2 = 1^{404} \cdot \alpha^2 = \alpha^2$

$\alpha^{2021} = (\alpha^5)^{404} \cdot \alpha^1 = 1^{404} \cdot \alpha^1 = \alpha$

したがって、

$\alpha^{2024} + \alpha^{2023} + \alpha^{2022} + \alpha^{2021} = \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha$

$\alpha$ は $x^5 - 1 = 0$ の解である。

$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$

$\alpha$ は 1 と異なる解なので、$\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ が成り立つ。

よって、$\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha = -1$

(2) $\alpha + \frac{1}{\alpha}$ を計算する。

$\alpha$ は $\alpha^5 = 1$ の解であり、$\alpha \neq 0$ なので、両辺を $\alpha$ で割ると、$\alpha^4 = \frac{1}{\alpha}$

よって $\alpha + \frac{1}{\alpha} = \alpha + \alpha^4$

$\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ より

$\alpha + \alpha^4 = -1 - \alpha^2 - \alpha^3$

また、$x^5 - 1 = 0$ の解は $x = \cos(\frac{2\pi k}{5}) + i \sin(\frac{2\pi k}{5})$ ($k=0,1,2,3,4$)

$k=1$ のとき $\alpha = \cos(\frac{2\pi}{5}) + i \sin(\frac{2\pi}{5})$

$\frac{1}{\alpha} = \cos(\frac{-2\pi}{5}) + i \sin(\frac{-2\pi}{5}) = \cos(\frac{2\pi}{5}) - i \sin(\frac{2\pi}{5})$

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 2 \cos(\frac{2\pi}{5})$

ここで $\cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ なので

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

別の解法として、$\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ を $\alpha^2$ で割ると

$\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} + \alpha + \frac{1}{\alpha} + 1 = 0$

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 - 2 + \alpha + \frac{1}{\alpha} + 1 = 0$

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 + (\alpha + \frac{1}{\alpha}) - 1 = 0$

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = t$ とすると

$t^2 + t - 1 = 0$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha$ は複素数なので、$\alpha + \frac{1}{\alpha}$ は実数。

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha = \cos \theta + i \sin \theta$ とおくと $\frac{1}{\alpha} = \cos \theta - i \sin \theta$ なので、$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 2 \cos \theta$ となる。

$2\cos \theta$ は実数であり、$\alpha$ は 1 と異なる解なので、$\alpha + \frac{1}{\alpha}$ は $-2$ と $2$ の間になる。

$\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < -1$ なので不適。よって $\alpha + \frac{1}{\alpha} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$