(1) 不等式 $1 \le \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - \log_{\frac{1}{2}}(x+2) \le 2$ の解を求める。 (2) 2点 A(-1, 3), B(1, 2) に対して、AP : BP = 1 : 2 を満たす点Pの軌跡を求める。さらに、その円と直線 $y = -x + k$ が接するときの $k$ の値を求める。 (3) 2点 (1, 1, 3), (3, -1, -1) を通る直線がある。原点Oからこの直線に下ろした垂線の足をAとする。点Aの座標と、原点から点Aまでの距離を求める。

以下に、与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $1 \le \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - \log_{\frac{1}{2}}(x+2) \le 2$ の解を求める。

(2) 2点 A(-1, 3), B(1, 2) に対して、AP : BP = 1 : 2 を満たす点Pの軌跡を求める。さらに、その円と直線 $y = -x + k$ が接するときの $k$ の値を求める。

(3) 2点 (1, 1, 3), (3, -1, -1) を通る直線がある。原点Oからこの直線に下ろした垂線の足をAとする。点Aの座標と、原点から点Aまでの距離を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式を変形する。

$\log_{\frac{1}{2}}(x+1) - \log_{\frac{1}{2}}(x+2) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{x+2}$

したがって、$1 \le \log_{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{x+2} \le 2$ となる。

底が $\frac{1}{2}$ であるから、対数の大小関係と真数の大小関係は逆になる。

$(\frac{1}{2})^2 \le \frac{x+1}{x+2} \le \frac{1}{2}$

$\frac{1}{4} \le \frac{x+1}{x+2} \le \frac{1}{2}$

まず、$\frac{x+1}{x+2} \le \frac{1}{2}$ を解く。

$\frac{x+1}{x+2} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(x+1) - (x+2)}{2(x+2)} \le 0$

$\frac{x}{2(x+2)} \le 0$

$x+2 > 0$ より、$x \le 0$。また、$x > -2$ より、$-2 < x \le 0$。

次に、$\frac{1}{4} \le \frac{x+1}{x+2}$ を解く。

$\frac{1}{4} - \frac{x+1}{x+2} \le 0$

$\frac{(x+2) - 4(x+1)}{4(x+2)} \le 0$

$\frac{-3x-2}{4(x+2)} \le 0$

$\frac{3x+2}{4(x+2)} \ge 0$

$x+2 > 0$ より、$3x+2 \ge 0$。したがって、$x \ge -\frac{2}{3}$。また、$x > -2$ である必要がある。

よって、$x \ge -\frac{2}{3}$。

以上より、$-\frac{2}{3} \le x \le 0$。

(2)

AP : BP = 1 : 2 より、2AP = BP

$4AP^2 = BP^2$

$4((x+1)^2 + (y-3)^2) = (x-1)^2 + (y-2)^2$

$4(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9) = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$

$4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 - 24y + 36 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$

$3x^2 + 10x + 3y^2 - 20y + 35 = 0$

$x^2 + \frac{10}{3}x + y^2 - \frac{20}{3}y + \frac{35}{3} = 0$

$(x + \frac{5}{3})^2 - (\frac{5}{3})^2 + (y - \frac{10}{3})^2 - (\frac{10}{3})^2 + \frac{35}{3} = 0$

$(x + \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{10}{3})^2 = \frac{25}{9} + \frac{100}{9} - \frac{105}{9} = \frac{20}{9}$

したがって、中心は $(-\frac{5}{3}, \frac{10}{3})$ で、半径は $\sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$。

円と直線が接する条件は、中心と直線の距離が半径に等しいこと。

$y = -x + k$ より、$x + y - k = 0$

中心 $(-\frac{5}{3}, \frac{10}{3})$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離は、

$\frac{|-\frac{5}{3} + \frac{10}{3} - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{5}{3} - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|5 - 3k|}{3\sqrt{2}}$

これが半径 $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ に等しいので、

$\frac{|5 - 3k|}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$

$|5 - 3k| = 2\sqrt{10}$

$5 - 3k = \pm 2\sqrt{10}$

$3k = 5 \pm 2\sqrt{10}$

$k = \frac{5 \pm 2\sqrt{10}}{3}$

(3)

2点 (1, 1, 3), (3, -1, -1) を通る直線の方程式を求める。

方向ベクトルは (3-1, -1-1, -1-3) = (2, -2, -4)。これは (1, -1, -2) と平行。

直線の方程式は、$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-3}{-2} = t$ とおくと、

$x = t + 1, y = -t + 1, z = -2t + 3$。

原点からこの直線に下ろした垂線の足Aの座標を求める。

Aは直線上の点であるから、A(t+1, -t+1, -2t+3) と表せる。

OAベクトルは (t+1, -t+1, -2t+3)。これが直線の方向ベクトル (1, -1, -2) と垂直であるから、内積は0。

(t+1)(1) + (-t+1)(-1) + (-2t+3)(-2) = 0

t+1 + t-1 + 4t-6 = 0

6t - 6 = 0

t = 1

したがって、A(2, 0, 1)。

原点から点Aまでの距離は $\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{2}{3} \le x \le 0$

(2) 中心: $(-\frac{5}{3}, \frac{10}{3})$, 半径: $\frac{2\sqrt{5}}{3}$, $k = \frac{5 \pm 2\sqrt{10}}{3}$

(3) A(2, 0, 1), 原点からAまでの距離: $\sqrt{5}$

解答欄に対応させると：

1: -2

2: 0

3: 3

4: 0

5: -5

6: 10

7: 3

8: 2

9: 3

10: 3

11: 2

12: sqrt(5)

13: 3

14: 5

15: +-

16: 2

17: 10

18: 3

19: 2

20: 0

21: 1

22: 5