連立方程式を解く問題です。与えられた連立方程式は以下の通りです。 $$ \begin{cases} \cos x = \cos y \\ \sin 3x = \cos 2y \end{cases} $$

1. 問題の内容

連立方程式を解く問題です。与えられた連立方程式は以下の通りです。

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\begin{cases}

\cos x = \cos y \\

\sin 3x = \cos 2y

\end{cases}

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2. 解き方の手順

まず、$\sin 3x = \cos 2y$ を変形します。$\cos \theta = \sin (\frac{\pi}{2} - \theta)$ の関係を用いると、

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\sin 3x = \sin (\frac{\pi}{2} - 2y)

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$\sin \alpha = \sin \beta$ を満たす条件は $\alpha = \beta + 2n\pi$ または $\alpha = \pi - \beta + 2n\pi$（$n$ は整数）であるから、

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3x = \frac{\pi}{2} - 2y + 2n\pi \quad \text{または} \quad 3x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2y) + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + 2y + 2n\pi

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これより、

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3x + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \quad \text{または} \quad 3x - 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi

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次に、$\cos x = \cos y$ を満たす条件は $x = y + 2m\pi$ または $x = -y + 2m\pi$（$m$ は整数）であるから、

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x = y + 2m\pi \quad \text{または} \quad x = -y + 2m\pi

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これらを組み合わせます。

(1) $x = y + 2m\pi$ かつ $3x + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ の場合

$x = y + 2m\pi$ を $3x + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ に代入して

$3(y + 2m\pi) + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$5y = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi$

$y = \frac{\pi}{10} - \frac{6m\pi}{5} + \frac{2n\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{(2n-6m)\pi}{5}$

$x = y + 2m\pi = \frac{\pi}{10} - \frac{6m\pi}{5} + \frac{2n\pi}{5} + 2m\pi = \frac{\pi}{10} + \frac{(2n+4m)\pi}{5}$

(2) $x = y + 2m\pi$ かつ $3x - 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ の場合

$3(y + 2m\pi) - 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$y = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi$

$x = y + 2m\pi = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi + 2m\pi = \frac{\pi}{2} - 4m\pi + 2n\pi$

(3) $x = -y + 2m\pi$ かつ $3x + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ の場合

$3(-y + 2m\pi) + 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$-y = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi$

$y = -\frac{\pi}{2} + 6m\pi - 2n\pi$

$x = -y + 2m\pi = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi + 2m\pi = \frac{\pi}{2} - 4m\pi + 2n\pi$

(4) $x = -y + 2m\pi$ かつ $3x - 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ の場合

$3(-y + 2m\pi) - 2y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$-5y = \frac{\pi}{2} - 6m\pi + 2n\pi$

$y = -\frac{\pi}{10} + \frac{6m\pi}{5} - \frac{2n\pi}{5} = -\frac{\pi}{10} + \frac{(6m-2n)\pi}{5}$

$x = -y + 2m\pi = \frac{\pi}{10} - \frac{6m\pi}{5} + \frac{2n\pi}{5} + 2m\pi = \frac{\pi}{10} + \frac{(4m+2n)\pi}{5}$

3. 最終的な答え

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\begin{cases}

x = \frac{\pi}{10} + \frac{(2n+4m)\pi}{5} \\

y = \frac{\pi}{10} + \frac{(2n-6m)\pi}{5}

\end{cases}

\quad \text{または} \quad

\begin{cases}

x = \frac{\pi}{2} + (2n-4m)\pi \\

y = \frac{\pi}{2} + (2n-6m)\pi

\end{cases}

\quad \text{または} \quad

\begin{cases}

x = \frac{\pi}{2} + (2n-4m)\pi \\

y = -\frac{\pi}{2} + (6m-2n)\pi

\end{cases}

\quad \text{または} \quad

\begin{cases}

x = \frac{\pi}{10} + \frac{(2n+4m)\pi}{5} \\

y = -\frac{\pi}{10} + \frac{(6m-2n)\pi}{5}

\end{cases}

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ここで、$m, n$ は任意の整数です。