与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず項をグループ化します。

最初の2つの項と最後の2つの項をグループ化すると、次のようになります。

$(a^2b + a) - (b + 1)$

最初のグループから $a$ を因数分解します。

$a(ab + 1) - (b + 1)$

次に、$ab + 1 = ba + 1$ であることに注意して、式を次のように書き換えることができます。

$a(ab + 1) - 1(b + 1)$

しかし、これではうまくいきません。

元の式を異なる方法でグループ化してみます。

$a^2b - b + a - 1$

最初の2つの項から $b$ を因数分解します。

$b(a^2 - 1) + a - 1$

$a^2 - 1$ は $(a - 1)(a + 1)$ と因数分解できるので、次のように書き換えます。

$b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)$

$(a - 1)$ を因数分解します。

$(a - 1)[b(a + 1) + 1]$

分配法則を使って、次のようになります。

$(a - 1)(ab + b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(ab + b + 1)$