正方形ABCDがあり、辺ADの中点をEとする。大小2つのサイコロを同時に投げ、出た目の和の数だけ、点Pは頂点AからB, C, D, A, B,...と正方形の辺に沿って移動する。 (1) 点Pが点Eを通過するサイコロの目の出方は何通りあるか。 (2) 点Pが点Eをちょうど2回通過する確率を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、辺ADの中点をEとする。大小2つのサイコロを同時に投げ、出た目の和の数だけ、点Pは頂点AからB, C, D, A, B,...と正方形の辺に沿って移動する。

(1) 点Pが点Eを通過するサイコロの目の出方は何通りあるか。

(2) 点Pが点Eをちょうど2回通過する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが点Eを通過するのは、AからEまで移動する場合と、一周してEまで戻ってくる場合がある。

AからEまで移動するには、ADの半分の距離だけ進めばよい。正方形の1辺の長さを $x$ とすると、ADの長さは $x$、AEの長さは $x/2$ になる。

AからEまでの距離は、$x/2$ であり、これは正方形の辺の長さ $x$ を単位として $1/2$ である。

しかし、点Pの移動距離はサイコロの目の和であり、整数値を取る必要がある。

Aを出発してEに最初に到達する場合、移動距離は $AE$ と考えられる。

正方形の1辺の長さを1とすると、$AE = 1/2$、 $AB = 1$、$BC = 1$、$CD = 1$。

点EはADの中点なので、AからEへは0.5進む。

サイコロの出目の和で、点Pが点Eを通過する条件を考える。

点Eに到達する出目の和を考える。

AからBまで1, BからCまで1, CからDまで1, DからAまで1なので、

AからEまで進むには、出目の和が、0.5, 4.5, 8.5, 12.5, ...　のときに点Eを通過する。

ここでは正方形の1辺を1と考えるのではなく、具体的な距離で考える。

AからEまで移動する距離を考える。サイコロの出目の和が $n$ のとき、

Eに到達するには、 $n$ が $AE$の距離 (1/2), $AB+BC+CD+DE$の距離 (3.5), $AB+BC+CD+DA+AB+BC+CD+DE$の距離(7.5), ... となる必要がある。

しかしサイコロの出目の和は整数なので、A→B→C→D→Eの経路を通る必要がある。

この経路を通る場合の距離は $1+1+1+0.5 = 3.5$　ではなく、$AB+BC+CD+(AD-AE) = 1+1+1+0.5 = 3.5$ 。Eを通過する出目の和は整数なので、一周してEに戻る場合を考える。

サイコロの出目の最小値は2、最大値は12。

点Eに到達するのは、

(1) $AB + BC + CD + DE = 1+1+1+0.5 = 3.5$ となる出目の和はない

(2) $AB + BC + CD + DA + AE = 1+1+1+1+0.5 = 4.5$ となる出目の和もない

(3) $AB + BC + CD + DA + AB + BC + CD + DE = 7.5$となる出目の和はない

(4) $AB + BC + CD + DA + AB + BC + CD + DA + AE = 8.5$となる出目の和はない

点Eを通過するのはAからEへの距離が $n + 0.5$ となる時を考える

すなわち A → E, A → B → C → D → E など

大小のサイコロの出目の和が、

$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ のいずれかである。

点Eを通過する出目の和は、5と9の場合。

(5) = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の4通り

(9) = (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) の4通り

合計8通り。

(2) 点Pが点Eをちょうど2回通過する確率を求める。

1回目にEを通過するのは、出目の和が5か9のときで、確率は8/36 = 2/9。

2回目にEを通過するには、4または8が出れば良い。

4 = (1,3), (2,2), (3,1) の3通り

8 = (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) の5通り

合計8通り。

なので、2回目の確率は 8/36 = 2/9。

従って、(2/9) * (2/9) = 4/81。

3. 最終的な答え

(1) 8通り

(2) $\frac{4}{81}$